Tìm ảnh của một đường tròn qua phép vị tự cực hay
Với Cách tìm ảnh của một đường tròn qua phép vị tự cực hay Toán học lớp 11 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải cho tiết sẽ giúp học sinh nắm được Cách tìm ảnh của một đường tròn qua phép vị tự cực hay.
Tìm ảnh của một đường tròn qua phép vị tự cực hay
A. Phương pháp giải
Cách 1. Sử dụng quỹ tích: Với mọi điểm M(x;y) thuộc hình (C), V(O,k)(M) = M'(x';y') thì M'thuộc ảnh (C') của hình (C).
Cách 2. áp dụng tính chất phép vị tự biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|R
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai đường tròn (C): (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4 và (C'): (x - 8)2 + (y - 4)2 =16. Tìm tâm vị tự của hai đường tròn.
Hướng dẫn giải:
Đường tròn (C) có tâm I(1;2),bán kính R = 2; đường tròn (C') có tâm I'(8;4), bán kính R' = 4. Do I ≠ I' và R ≠ R' nên có hai phép vị tự V(J;2) và V(J';-2) biến (C) thành (C'). Gọi J(x;y)
Với k = 2 khi đó 
⇒ J(-4;-2).
Tương tự với k = -2, tính được J'(4;2).
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 1)2 = 4. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I(-1;2) tỉ số k = 3
Hướng dẫn giải:
Đường tròn (C) có tâm J(1;1), bán kính R = 2.
⇒ J'(7;-2).
Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự V(I;3) thì(C') có tâm J'(7;-2), bán kính R' = 3R = 6.
Vậy (C'): (x - 7)2 + (y + 2)2 = 36.
Ví dụ 3: Tìm ảnh của các đường tròn (C) sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
a) (C): (x – 2)2 + (y + 4)2 = 1, k = -1/2
b) (C): x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0, k = 4
Hướng dẫn giải:
a)
b)
Gọi V(O,4)(C) = (C'). Từ (C), ta có: tâm I(3; -2) và bán kính R = 4
Khi đó: V(O,4)(I) = I'(12; -8) và bán kính R’ = |4|R = 16.
Vậy: (C’): (x – 12)2 + (y + 8)2 = 256
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 5)2 = 4 và điểm I(2;-3). Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I tỉ số k = -2. Khi đó (C') có phương trình là:
A. (x - 4)2 + (y + 19)2 = 16.
B. (x - 6)2 + (y + 9)2 = 16.
C. (x + 4)2 + (y - 19)2 = 16.
D. (x + 6)2 + (y + 9)2 = 16.
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x - 3)2 + (y + 1)2 = 5. Tìm ảnh đường tròn (C') của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I(1;2) và tỉ số k = -2
A. x2 + y2 + 6x - 16y + 4 = 0.
B. x2 + y2 - 6x + 6y - 4 = 0.
C. (x + 3)2 + (y - 8)2 = 20.
D. (x - 3)2 + (y + 8)2 = 20.
Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn (C1): (x - 1)2 + (y - 3)2 =1; (C2): (x - 4)2 + (y - 3)2 = 4. Tìm tâm vị tự ngoài của hai đường tròn đó
A. (-2;3).
B. (2;3).
C. (3;-2).
D. (1;-3).
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x - 2)2 + (y + 1)2 = 9. Gọi (C')là ảnh của đường tròn (C) qua việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số 
và phép tịnh tiến theo vectơ 
= (1; -3). Tính bán kính R' của đường tròn (C').
A. R' = 9.
B. R' = 3.
C. R' = 27.
D. R' = 1.
Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn lần lượt có phương trình là: (C): x2 + y2 - 2x + 6y - 6 = 0 và (C'): x2 + y2 -x + y- 
= 0. Gọi (C) là ảnh của (C') qua phép vị tự tỉ số k. Khi đó, giá trị của k là:
Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x - 1)2 + (y + 1)2 = 2. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3.
A. (x - 3)2 + (y + 3)2 =2.
B. (x - 3)2 + (y + 3)2 =18.
C. (x + 3)2 + (y - 3)2 =18.
D. (x + 3)2 + (y - 3)2 =6.
Câu 7. Trong mặt phẳngOxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)2 + (y - 2)2 = 4. Phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?
A. (x - 2)2 + (y - 4)2 = 16.
B. (x - 4)2 + (y - 2)2 = 4.
C. (x - 4)2 + (y - 2)2 = 16.
D. (x + 2)2 + (y + 4)2 = 16.
Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)2 + (y - 1)2 = 4. Phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?
A. (x - 1)2 + (y - 1)2 = 8.
B. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 8.
C. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 16.
D. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 16.
Câu 9. Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh đường tròn (C')của đường tròn (C): (x - 1)2 + (y + 2)2 = 5 qua phép vị tự tâm 0 tỉ số k = -2.
A. (C'): (x + 2)2 + (y + 4)2 = 10.
B. (C'): (x - 2)2 + (y - 4)2 = 10.
C. (C'): (x + 2)2 + (y - 4)2 = 20.
D. (C'): (x - 2)2 + (y + 4)2 = 20.
Câu 10. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn (C1) :(x - 3)2 + (y - 3)2 = 9 và đường tròn (C2): (x - 10)2 + (y - 7)2 = 4. Tìm tâm vị tự trong biến (C) thành (C').
Câu 11. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x-6)2 + (y - 4)2 = 12. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 1/2 và phép quay tâm O góc 90°.
A. (x + 2)2 + (y - 3)2 = 3.
B. (x - 2)2 + (y + 3)2 = 3.
C. (x + 2)2 + (y - 3)2 = 6.
D. (x - 2)2 + (y + 3)2 = 6.
