Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân cực hay có lời giải

A. Phương pháp giải

Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 1. Khi đó tổng n số hạng đầu tiên được tính theo công thức:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn. . Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân?

Hướng dẫn giải:

Gọi q là công bội của cấp số nhân. Theo giả thiết ta có:

Tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân là:

Chọn C.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: . Tính u₁?

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

Lấy (1) chia (2) vế chia vế với u₁ ≠ 0 ta được :

* Với q = 6 => u₁ = 1.

* Với 

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 1 hoặc 36.

Chọn B.

Ví dụ 3: Tính tổng S_n = 3 + 3² + 3³ + ....+ 3ⁿ

Hướng dẫn giải:

Ta có dãy số 3; 3², 33³3; ..;3ⁿ là một cấp số nhân có n số hạng. Số hạng đầu là u₁ = 3 và công bội q= 3.

=> Tổng của n số hạng đầu tiên là:

Chọn A.

Ví dụ 4: Tính 

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

Có dãy số 3²; 3⁴;..; 3²ⁿ là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu u₁ = 32 và công bội q = 9. Do đó 

Có dãy số  là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu  và công bội . Do đó

Vậy 

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn; . Hỏi tổng bao nhiêu số hạng đầu tiên bằng 3069?

Hướng dẫn giải:

* Trước tiên ta đi tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân.

Theo giả thiết ta có: 

Từ (1) và (2) vế chia vế ( với u_1.q≠0) ta được: 

hay q = 2 thay vào (1) ta được u₁ = 3

*Ta có tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:

Kết luận tổng của 10 số hạng đầu tiên bằng 3069.

Chọn D.

Ví dụ 6: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Tính tổng S= u₂ + u₄ + u₆ + ..+ u₁₄

Hướng dẫn giải:

* Ta có:  với mọi n.

=> Dãy số (u_n ) là cấp số nhân với u₁ = 32 và công bội q = 2.

* các số u₂; u₄; u₆; ...; u₁₄ lập thành cấp số nhân số hạng đầu u₂ = u₁ . q = 64 và công bội q' = 2q = 4. Tổng của 7 số hạng u₂; u₄;...u₁₄ là :

Chọn A.

Ví dụ 7: Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của cấp số nhân đó.

Hướng dẫn giải:

Gọi cấp số nhân đó là (u_n) với . Theo đề bài ta có :

Từ (2) ta có:

⇔ q= 3. Thay vào (1) ta được :

Do đó các số hạng còn lại của cấp số nhân là

Chọn D.

Ví dụ 8: Tính 

Hướng dẫn giải:

Ta có

Vậy

Chọn B.

Ví dụ 9: Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 2 và u₂ = −6. Biết rằng S_n = −29524 , tính u_n.

Hướng dẫn giải:

Ta có u₂ = u₁ . q nên −6 = 2q ⇔ q = −3

Ta có

Chọn C.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 3 và công bội là số nguyên tố bé nhất. Tìm k, biết S_k = 189.

Câu 2: Cho dãy số (u_n) xác định bởi  và .Tổng  bằng

Câu 3: Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân biết công bội q= 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng cuối bằng 486.

Câu 4: Tính tổng 

Câu 5: Tính tổng 

Câu 6: Tính tổng 

Câu 7: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: u₁ = 4; q = 2 và S_n = 2044. Tính S_2n?

Câu 8: Tính tổng 

Câu 9: Tính tổng sau