Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f ’(x). Nếu f ’(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x) và được kí hiệu là: f ''(x), tức là:

f ’’(x) = (f’(x))’

Đạo hàm cấp n: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp n – 1 (với n ∈ N, n ≥ 2)) là f^(n-1)(x). Nếu f^(n-1)(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x) và được kí hiệu là f⁽ⁿ⁾(x), tức là:

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))'

Để tính đạo hàm cấp n:

   + Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n

   + Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hàm số f(x) = 5(x+1)³ + 4(x+1)

Tìm tập nghiệm của phương trình f ''(x) = 0 ?

Hướng dẫn:

Vì: f '(x) = 15(x+1)² + 4 ; f ''(x) = 30(x+1) ⇒ f ''(x) = 0 ⇔ x = -1

Bài 2: Cho hàm số y = sin2x. Tính y ''(π/3), y⁽⁴⁾(π/4) ?

Hướng dẫn:

Ta có y ''' = -8cos2x, y⁽⁴⁾ = 16sin2x

Suy ra y ''' (π/3)= --8cos(2π/3) = 4; y⁽⁴⁾(π/4) = 16sin⁡(π/2) = 16

Bài 3: Cho hàm số y = sin2x. Tính y⁽ⁿ⁾?

Hướng dẫn:

Ta có

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.

Bài 4: Cho hàm số y = sin²⁡2x. Tính y⁽⁴⁾(π/6) ?

Hướng dẫn:

Vì: y ' = 2sin2x(2cos2x) = 2sin4x; y '' = 8cos4x; y ''' = -32sin4x;

y⁽⁴⁾ = -128cos4x ⇒ y⁽⁴⁾(π/6) = 64√3

Bài 5: Cho hàm số y = sin2x. Tính y’’

Hướng dẫn:

Ta có y' = 2cos2x ⇒ y '' = -4sin2x

Bài 6: Hàm số .Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số trên.

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 7: Hàm số y = (x) = cos⁡(2x - π/3) . Phương trình f⁽⁴⁾(x) = -8 có nghiệm x ∈ [0; π/2] là:

Hướng dẫn:

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = 1/(2x-3) bằng biểu thức nào dưới đây?

Bài 2: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = cosx.cos2x.cos3x bằng biểu thức nào dưới đây?

A. cos2x + 4cos4x + 9cos6x

B. – cos2x - 4cos4x – 9cos6x

C. – cosx - 4cos2x - 9cos3x

D. (-1/4)cos2x + (1/4)cos4x + (-1/4)cos6x

Bài 3: Hàm sốcó đạo hàm cấp 5 bằng:

Bài 4: Hàm sốcó đạo hàm cấp 5 bằng:

Bài 5: Hàm số có đạo hàm cấp hai là:

Bài 6: Hàm số y = (x² + 1)³ có đạo hàm cấp ba là:

A. y ''' = 12(x²+1)

B. y ''' = 24(x²+1)

C. y ''' = 24(5x²+3)

D. y ''' = -12(x²+1)

Bài 7: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = (3/4)x⁴ - 2x³ - 5x + sinx bằng biểu thức nào sau đây?

A. 9x²-12x+sinx

B. 9x²-12x-sinx

C. 9x²-6x-sinx

D. 9x²-12x+cosx

Bài 8: Đạo hàm cấp 4 của hàm số y = sin²x bằng biểu thức nào sau đây?

Bài 9: Hàm sốcó đạo hàm cấp hai bằng:

Bài 10: Hàm sốcó đạo hàm cấp 2 bằng:

Bài 11: Hàm số y = (2x+5)⁵ có đạo hàm cấp 3 bằng:

A. y ''' = 80(2x+5)⁵

B. y ''' = 480(2x+5)²

C. y ''' = -480(2x+5)²

D. y ''' = -80(2x+5)³

Bài 12: Hàm số y = tanx có đạo hàm cấp 2 bằng:

Bài 13: Cho hàm số y = sinx. Chọn câu sai.