Dạng bài tập về phép quay 90 độ cực hay

A. Phương pháp giải

[1]. Biểu thức tọa độ của phép quay 90° và -90°

Trong hệ trục tọa Oxy:

[2]. Bài toán xác định vị trí của điểm, hình khi thực hiện phép quay cho trước

Bước 1. Xác định tâm quay và góc quay theo yêu cầu bài toán.

Bước 2. Áp dụng các kiến thức sau:

Bước 3. Kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;5); đường thẳng d: 3x - y + 2 = 0 và đường tròn (C): (x + 4)² + (y - 1)² = 16

a) Tìm tọa độ điểm B là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O(0;0) góc quay -90°.

b) Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay -90°.

c) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -90°

Hướng dẫn giải:

a)

Cách 1:

+) Do Q_(O,90°)(A) = B nên dựa vào vẽ bên ta suy ra: B(5;1).

Cách 2:

+) Do Q_(O,90°)(A) = B nên .

Vậy B(5;1).

b) Qua phép quay tâm O góc quay -90° đường thẳng d biến thành đường thẳng d' vuông góc với d.

Phương trình đường thẳng d' có dạng: x + 3y + m = 0.

Lấy A(0;2) ∈ d. Qua phép quay tâm O góc quay -90°, điểm A(0;2) biến thành điểm B(2;0) ∈ d'. Khi đó m = -2.

Vậy phương trình đường d' là x + 3y - 2 = 0.

c) Từ (C), ta có tâm I(-4; 1) và bán kính R = 4.

Khi đó: Q_(O,90°)(I) = I'(1;4) và bán kính R' = R = 4.

Vậy: Q_(O,90°)(C) = (C'): (x - 1)² + (y - 4)² = 16

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trọng tâm G ( thứ tự các điểm như hình vẽ)

a) Tìm ảnh của điểm B qua phép quay tâm A góc quay 90°

b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm A góc quay 90°

c) Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm G góc quay 90°

Hướng dẫn giải:

a)

Dựng đoạn thẳng AB’ bằng đoạn thẳng AB sao cho  (Vị trí B’ như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

• Khi đó: 

• Vậy B’ à ảnh của điểm B qua phép quay tâm A, góc quay 90°

b)

• Dựng đoạn thẳng AC’ bằng đoạn thẳng AC sao cho  (Vị trí C’ như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

• 

Mặt khác, Q_(A,90°)(B) = B' (theo câu a) (2)

• Từ (1) và (2) suy ra: Q_(A,90°)(BC) = B'C'

c)

• Dựng đoạn thẳng GA’ bằng đoạn thẳng GA sao cho  (Vị trí A’ như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

• Dựng đoạn thẳng GB’’ bằng đoạn thẳng GB sao cho  (Vị trí B’’ như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

• Dựng đoạn thẳng GC’’ bằng đoạn thẳng GC sao cho  (Vị trí C’’ như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

• Khi đó:

Từ (1),(2),(3) suy ra: Q_(G,90°)(ΔABB) = ΔAB''C''

Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD tâm O ( thứ tự các điểm như hình vẽ)

a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A, góc quay 90°

b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O, góc quay 90°

Hướng dẫn giải:

a) Gọi E là điểm đối xứng của C qua D.

Khi đó: 

Vậy E là ảnh của C qua phéo quay tâm A, góc quay 90°

b) Vì ABCD là hình vuông nên

Từ (1) và (2) suy ra: Q_(O,90°)(BC) = CD

Vậy CD là ảnh của BC qua phép quay tâm O góc quay 90°

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho hình vuông ABCD có tâm là O,. Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AD, DC, CB, BA ( xem hình vẽ)

Tìm ảnh của tam giác ODN qua phép quay tâm O góc quay -90°.

A. ΔOCP

B. ΔOCM

C. ΔMCP

D. ΔNCP

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm B(-3;6). Tìm toạ độ điểm E sao cho B là ảnh của E qua phép quay tâm O góc quay(-90°).

A. E(6;3).

B. E(-3;-6).

C. E(-6;-3).

D. E(3;6).

Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ: x + 2y - 6 = 0. Viết phương trình đường thẳng Δ' là ảnh của đường thẳng Δ qua phép quay tâm O góc 90°?

A. 2x - y + 6 = 0.

B. 2x - y-6 = 0.

C. 2x + y + 6 = 0.

D. 2x + y-6 = 0.

Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M(2;0) và điểm N(0;2). Phép quay tâm O biến điểm M thành điển N, khi đó góc quay của nó là

A. φ = 30°.

B. φ = 45°.

C. φ = 90°.

D. φ = 270°.

Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x - 2)² + y² = 8. Viết phương trình đường tròn (C₁) sao cho (C) là ảnh của đường tròn (C₁) qua phép quay tâm O, góc quay 90°.

A. x² + (y + 2)² = 8.

B. x² + (y + 2)² = 4.

A. (x - 2)² + y² = 8.

C. x² + (y - 2)² = 8.

Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm M(-6;1) qua phép quay Q_(O,90°)là:

A. M(1;6).

B. M(-1;-6).

C. M(-6;-1).

D. M(6;1).

Câu 7. Cho hình vuông ABCD tâm O, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA ( thứ tự các điểm A,B,C,D như hình vẽ)

Tìm ảnh của ΔAMN qua phép quay tâm O, góc quay 90°.

A. ΔDM’N’, M’, N’ lần lượt là là trung điểm OC, OB

B. ΔDM’N’, M’, N’ lần lượt là là trung điểm OA, OB

C. ΔAM’N’, M’, N’ lần lượt là là trung điểm OC, OD

D. ΔAM’N’ với M’, N’ lần lượt là là trung điểm BC, OB

Câu 8. Cho hai hình vuông vuông ABCD và BEFG (như hình vẽ). Tìm ảnh của ΔABG trong phép quay tâm B, góc quay -90°.

A. ΔCBE

B. ΔCBF

C. ΔCBG

D. ΔCBD