Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm

*Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M₀(x₀; f(x₀) ).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀ là:

y–y₀=f' (x₀).(x–x₀)

A. Phương pháp giải

Cho (C) là đồ thị của hàm số y= f(x) và điểm A( a ; b).Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A.

- Gọi ∆ là đường thẳng qua A và có hệ số góc k.

Khi đó tiếp tuyến ∆ có dạng : y= k(x- a)+ b (*)

- Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y=2x+2/x-1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 4; 3)

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định với mọi x khác 1

Ta có đạo hàm

Gọi M( x⁰; y⁰) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):

Ví dụ 2. Tìm trên (C) : y= 2x³- 3x² + 1 những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8.

A. M( 1; 0)       B. M(- 2; - 27)       C. M( -1; - 4)        D. M( 2; 5)

Hướng dẫn giải

Giả sử M(x₀;y₀)∈(C) ⇔ y₀=2x₀³-3x₀²+1.

Ta có đạo hàm: y'=6x²-6x.

Phương trình tiếp tuyến ⇔ tại M: y=(6x₀²-6x₀)(x-x₀)+2x₀³-3x₀²+1.

Gọi giao điểm của tiếp tuyến ∆ và trục tung là P ⇒ P( 0; 8)

⇔ đi qua P( 0; 8) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình∆ ta được

8=-4x₀³+3x₀²+1 ⇔ x₀=-1.

Vậy M(-1; - 4)

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hàm số (C): y = (x+2)/(x-2) . Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(-6;5) của đồ thị (C).

A: y=x+1        B: y=-x-1        C: y=-x+1        D: Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4. Cho hàm số y=(2x+1)/(x-1) (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A( -7; 5).

Hướng dẫn giải

Ví dụ 5 : Cho hàm số y=2x⁴-4x²-1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A( 1; -3).

Hướng dẫn giải

Ta có y'=8x³-8x

Gọi M(x₀; 2x₀⁴- 4x₀²-1) là một điểm thuộc đồ thị hàm số (C).

Tiếp tuyến ∆ tại M có phương trình:

y=(8x₀³-8x₀)(x-x₀)+2x₀⁴-4x₀²-1 ( *)

Vì tiếp tuyến ∆ đi qua A( 1; -3)nên ta có

+ Với x₀ = 1 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến: y= -3.

+ Với x₀= -1 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến: y= -3.

+ Với x₀= 1/3 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến:

Ví dụ 6. Cho ( C) là đồ thị của hàm số: y= x³+ 3x² – 6x+ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) đi qua điểm N( 0; 1) .

Hướng dẫn giải

Gọi M( x₀; y₀ ) là tiếp điểm

Ta có đạo hàm của hàm số đã cho là: y'= 3x²+6x-6

Phương trình tiếp tuyến có dạng:

Vì tiếp tuyến đi qua N( 0;1) nên ta có:

1=(3x₀²+6x₀-6)(-x₀)+x₀³+3x₀²-6x₀+1

⇔2x₀³+3x₀²=0 ⇔x₀=0,x₀=-3/2

+ Nếu x⁰= 0 ⇒ y’(x⁰)= - 6.

⇒ Phương trình tiếp tuyến: y= -6x+ 1.

+ Nếu x₀=-3/2 thì y' (x₀ )= (- 33)/4; y₀= 107/8

⇒ Phương trình tiếp tuyến: y'=-33/4(x+3/2)+107/8=-33/4 x+1

Chọn C.

Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y=x⁴+x²+1 biết tiếp tuyến đi qua điểm M( -1; 3).

A. y= -6x - 2       B. y= -6x- 9       C. y= -6x- 3       D. y= - 6x- 4

Hướng dẫn giải

Ta có đạo hàm : y’= 4³ + 2x. Gọi M( x₀; y₀) là tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến có dạng:

y=(4x₀³+2x₀)(x-x₀)+x₀⁴+x₀²+1

Vì tiếp tuyến đi qua M( -1; 3) nên ta có:

⇔(x₀+1)² (3x₀²-2x₀+2)=0

⇔x₀=-1 ⇒y₀=3,y'(x₀)=-6

Phương trình tiếp tuyến: y – 3= - 6( x+ 1) hay y= - 6x – 3

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số y= (x²+x+1)/(x+1) có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm

A( -1;0) là:

A. y= 3/4 x       B. y= 3/4 ( x+1)       C. y= 3( x+ 1)       D. y= 3x+1

Câu 2: Qua điểm A( 0; 2) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số

y= x⁴- 2x²+ 2

A. 2       B. 3       C.0       D. 1

Câu 3: Cho hàm số f(x) =x²/4-x+1 , có đồ thị (C). Từ điểm M( 2; -1) có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình:

A. y= -x+ 1và y= x+ 3.        B. y= 2x- 5 và y= -2x + 3.

C. y= -x +1 và y = x - 3.        D.y= x+ 1và y= -x- 3.

Câu 4: Cho đồ thị (C) của hàm số y= x²+ 2x+ 3. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số biết đường thẳng d đi qua điểm A( 1 ; 6).

A. y= 2x- 3        B. y= 3x+ 3        C.y= 4x+ 2        D. y= -x+ 7

Câu 5: Phương trình tiếp tuyến của (C): y= x³ biết nó đi qua điểm M( 2; 0) là:

A. y= 27 x+ 54 và y= 27x- 54.       B. y= 27 x- 9 và y= 27 x - 2.

C. y= 27 x+ 27 và y= 27 x- 27.       D. y= 0 và y= 27x - 54.

Câu 6: Cho hàm số y=x³-3x²-9x+1có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A( -1; 6) .

Câu 7: Tiếp tuyến kẻ từ điểm (2; 3) tới đồ thị (C) của hàm số y = (3x+4)/(x-1) là

A. y= -28x+ 59; y= x+ 1.        B. y= -24x + 51; y= x+ 1.

C. y= -28x + 59.        D. y= -28 x+ 59; y= -24 x+ 51