Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx

A. Phương pháp giải

+ Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng:

a.sin² x+ b. sinx. cosx + c. cos² x= 0 (1)

trong đó a; b và c là các số đã cho với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 hoặc c ≠ 0

+Có hai cách để giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx :

* Cách 1.

Bước 1: Kiểm tra cosx = 0 có nghiệm của phương trình.

Chú ý: cosx=0 ⇒ sin² x= 1

Bước 2. Nếu cosx ≠ 0 chia cả hai vế của phương trình cho cos²x. Khi đó phương trình đã cho có dạng: a. tan² x+ b. tanx+ c= 0

Đây là phương trình bậc hai ẩn tanx. Giải phương trình ta tính được tanx

⇒ x= ....

Chú ý:

* Cách 2.Áp dụng công thức hạ bậc; công thức nhân đôi ta có:

a. sin² x+ b. sinx. cosx+ c.cos² x= 0

⇒ b.sin2x+( c-a) cos2x = - a- c

Đây là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một họ nghiệm của phương trình: 2sin²x - 5sinx.cosx–cos² x= - 2 là

A. x= 

B. x= 

C. x= 

D. x= 

Lời giải

+ Trường hợp 1: Nếu cosx= 0 ⇒ sin² x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0 chia cả hai vế cho cos2 x ta được :

2 tan²x – 5 tanx - 1= (- 2)/(cos² x)

⇒ 2tan² x – 5tanx – 1= - 2( 1+ tan²x)

⇒ 2tan²x – 5tanx -1= - 2 – 2tan² x

⇒ 4tan² x – 5tanx + 1= 0

Chọn B.

Ví dụ 2. Cho phương trình : 2sin² x- 4sinx.cosx+4 cos²x= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm

A. 1 < m hoặc m < - 1

B.m > √3 hoặc m < - √5

C. 2- √5 ≤ m ≤ 2+ √5

D.Đáp án khác

Lời giải

Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi ta có:

2sin² x- 4sinx.cosx+ 4cos² x=m

⇒ (1-cos2x)-2sin2x+2cos2x+1 = m

⇒ cos2x – 2sin2x = m- 2

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x nên điều kiện để phương trình có nghiệm là: 1² + (-2)² ≥ (m-2)²

⇒ 5 ≥ m² - 4m+ 4 ⇒ m² – 4m - 1 ≤ 0

⇒ 2- √5 ≤ m ≤ 2+ √5

Chọn C.

Ví dụ 3: Giải phương trình 4sin³ x+ 3cos³x- 3sinx – sin²x.cosx= 0

A. 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx= 0 ⇒ sin² x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2.Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế cho cos³ x ta được:

⇒ 4.tan³ x+ 3- 3tanx.(1+ tan² x) – tan²x = 0

⇒ 4.tan³ x + 3- 3tanx – 3tan³x – tan² x = 0

⇒ tan³ x – tan² x -3tanx + 3= 0

Chọn B.

Ví dụ 4. Cho phương trình 2sin² x – 5sinx. cosx +3cos² x= 0. Tìm một họ nghiệm của phương trình:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx=0 ⇒ sin2 x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos² x ta được:

2tan² x – 5tanx + 3= 0

Chọn C

Ví dụ 5. Giải phương trình 4sin² x+4sinx. cosx+ cos²x= 0 .

A.

B.x= arctan⁡(-2)+kπ

C.

D.x= arctan⁡2+kπ

Lời giải

+ Trường hợp 1.Nếu cosx= 0 ⇒ sin² x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế phương trình cho cos² x ta được :

4tan² x + 4tanx +1= 0 ⇒ (2tanx+1)²= 0

⇒ 2tanx+1 = 0 ⇒ tan x= (-1)/2

⇒ x= arctan⁡(- 1)/2+kπ

Chọn C.

Ví dụ 6. Phương trình có các nghiệm là:

A .

B. 

C. 

D. Tất cả sai

Lời giải

+ Trường hợp 1: Nếu cosx= 0 ⇒ sin2x = 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn

+ trường hợp 2: Nếu cosx ≠ 0 ta chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được:

Chọn A.

Ví dụ 7: Giải phương trình - 3sin²x – 2sinx.cosx + 4cos² x= - 3

A.

B .

C. 

D. 

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx= 0 ⇒ sin² x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được:

- 3tan² x -2tanx + 4= (- 3)/(cos² x)

⇒ - 3tan² x – 2tanx + 4= - 3( 1+ tan² x)

⇒ - 2tanx = -7 ⇒ tanx= 7/2

⇒ x=arctan 7/2+kπ

Chọn A.

Ví dụ 8: Phương trình 2sin² x+ sinx.cosx – cos² x= 0 có nghiệm là:

A. 

B. 

C. 

D. 

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx= 0 ⇒ sin² x=1 thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0; chia cả hai vế của phương trình cho cos² x ta được:

2tan² x+ tanx – 1= 0

Chọn C.

Ví dụ 9. Giải phương trình: 

A. 

B. 

C. 

D. Vô nghiệm

Lời giải

+ Trường hợp 1.

Thay cosx = 0 vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Với cosx ≠ 0

Phương trình này vô nghiệm

⇒ Phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Ví dụ 10: Phương trình  có các nghiệm là:

A.

B. 

C.

D. 

Lời giải

Trường hợp 1. Với cosx=0 ⇒ sin2x = 1 thay vào phương trình đã cho ta được :

6.1+0 – 0= 6 (luôn đúng )

⇒ phương trình có nghiệm x= π/2+kπ

Trường hợp 2. Nếu cos x ≠ 0 chia cả hai vế cho cos2x ta được

Chọn A

Ví dụ 11: Giải phương trình 2cos³x = sin3x

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: 2cos³x = sin³x

⇒ 2cos³ x= 3sinx- 4sin³x

Ta thấy cosx=0 không là nghiệm của phương trình đã cho.Chia cả hai vế phương trình cho cos³ x ta được:

⇒ 2= 3. tanx( 1+ tan² x) – 4tan³ x

⇒ 2= 3tanx + 3tan³x – 4tan³x

⇒ tan³x – 3tanx + 2= 0

Chọn C.

Ví dụ 12: Giải phương trình 

A. 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Lời giải

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Phương trình  có nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Câu 2:Phương trình  có một họ nghiệm là

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 3:Giải phương trình sin²x + 3tanx = cosx.( 4sinx – cosx)

A. 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Câu 4:Giải phương trình: sin² x. ( tanx+ 1) = 3sinx.(cosx – sinx) + 3

A. 

B.

C.

D. Đáp án khác

Câu 5:Giải phương trình 

A. 

B. 

C.

D. 

Câu 6:Một họ nghiệm của phương trình: sin² x – 3sinx. cosx = 2 là

A.

B.

C.

D.Đáp án khác

Câu 7:Giải phương trình 3sin² x – 4sinx.cosx + 5cos² x = 2.

A.

B.

C.

D.

Câu 8:Phương trình :  có nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Câu 9:Giải phương trình 4sin²x+ 5sinx. cosx – 9cos² x= 0

A.

B.

C.

D.

Câu 10:Giải phương trình – sin² x – 2sin2x- 4cos² x = 0

A. x = arctan (-3)+ kπ

B. x = arctan 3+ kπ

C. x = arctan 2+ kπ

D. x = arctan (-2)+ kπ