Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân cực hay

A. Phương pháp giải

Cho ba số a,b và c; điều kiện để ba số trên lập thành cấp số nhân là: b² = ac

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số . Tìm x để ba số trên theo thứ tự lập thành cấp số nhân?

Hướng dẫn giải:

Để ba số  lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi:

=> Không có giá trị nào của x thỏa mãn.

Chọn D.

Ví dụ 2: Ba số x, y, z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Ba số x, y – 4 , z theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Đồng thời các số x, y – 4 , z – 9 theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tính x.y.z?

Hướng dẫn giải:

* Dựa vào tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân ta có hệ phương trình:

* Từ (1) và (2) ta có:

Thay y = 2 vào (3) được: x+z= 5.

* Ta có: x+ z= 5 và x. z= y² = 4 suy ra giá trị của x và z là nghiệm của phương trình:

Có 2 bộ (x,y,z) thỏa yêu cầu là (1,2,4) và (4,2,1).

Trong cả hai trường hợp tích của ba số là 8.

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho hai số dương a và b sao cho a; a+ 2b; 2a+ b lập thành cấp số cộng và (b+1)² ; ab + 5; (a+1)² lập thành cấp số nhân. Tính a + b?

Hướng dẫn giải:

* Do a; a+ 2b và 2a+ b lập thành cấp số cộng nên :

* Do (b+1)²; ab + 5 và (a+1)² lập thành cấp số nhân nên:

* Nếu a+ b= 4. Lại có a= 3b nên ta có:

=> a= 3 ( thỏa mãn) . Khi đó; a+ b= 4.

* Nếu 2ab+ a+ b = -6 . Lại có a = 3b nên ta có:

Kết luận

Chọn B

Ví dụ 4: Cho a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân và a, b, c- 4 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, đồng thời a, b - 1 và c- 5 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Tính c – 13a?

Hướng dẫn giải:

Do a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên: ac = b²

Do a, b, c- 4 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, nên: a+ c- 4= 2b

Do a, b- 1, c- 5 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên: a(c - 5)= (b-1)²

Ta có hệ phương trình: 

Thay (1) vào (3):

Thay vào (2) được: a + c – 4 = 5a + 1 ⇔ c = 4a + 5

Thay b và c theo a vào (1) được:

Với a = 1 => b = 3 ; c= 9 => c - 13a = -4

Với 

Chọn A.

Ví dụ 5: Các số x+ 6y; 5x+ 2y và 8x+ y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Đồng thời các số x- 1, y+2 và x +3y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Hỏi y là nghiệm của phương trình nào?

Hướng dẫn giải:

* Do ba số x+ 6y, 5x+ 2y và 8x+ y theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:

* Do ba số x- 1, y+ 2 và x+3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên :

* Thay (1) vào (2) ta được:

Chọn C.

Ví dụ 6: Cho ba số x, 3x - 2 và 5x – 2. Tìm x để ba số trên theo thứ tự lập thành cấp số nhân?

Hướng dẫn giải:

Điều kiện để ba số x,3x - 2 và 5x - 2 lập thành cấp số nhân là:

Chọn C .

Ví dụ 7: Cho dãy số . Tìm x để ba số trên theo thứ tự lập thành cấp số nhân?

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: x ≥ 0

Để ba số đã cho lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi:

Chọn B.

Ví dụ 8: Tìm a, b, c biết rằng: a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng và a, c, b là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, đồng thời a+ b+ c = 30. Tính a+ b?

Hướng dẫn giải:

* Theo đề bài ta có hệ phương trình sau:

Thay (1) vào (3) được: 3b= 30 ⇔ b= 10.

* Thay b= 10 vào (1) và (2):

Vậy a = 40; b = 10 và c = −20 => a + b= 50

Chọn C.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho ba số x,3,y theo thứ tự lập thành cấp số nhân và x⁴ = y√3. Tìm x+ y?

Câu 2: Tìm x; y biết các số x+ 5y; 5x+2y; 8x+ y lập thành cấp số cộng và các số (y-1)²; xy – 1; (x+1)² lập thành cấp số nhân.

Câu 3: Xác định x để 3 số 2- x; x+ 1 và x- 3 lập thành một cấp số nhân:

Câu 4: Tìm x để 3 số 2x+ 6; x và 2x- 6 lập thành một cấp số nhân:

Câu 5: Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21. Nếu thêm 2,3,9 lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ 3 tạo thành cấp số nhân. Tính tích 3 số đó.

Câu 6: Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36. Tính tích của số hạng thứ 2 và số hạng thứ 3.

Câu 7: Cho các số 5x- y; 2x+ 3y; x+ 2y lập thành cấp số cộng ; các số (y+1)²; xy+ 1; (x-1)² lập thành cấp số nhân.Tính x; y

Câu 8: Các số x+ 6y; 5x+ 2y, 8x+ y lập thành cấp số cộng và các số  lập thành cấp số nhân. Tìm y?