Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng và tiếp xúc với mặt phẳng

Phương pháp giải

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P))=

+ Điều kiện cho trước:

1) Mặt cầu đi qua A cho trước:

Do mặt cầu đi qua A cho trước và tiếp xúc với (P) nên IA = d(I;(P))=R

⇒ Tìm được t ⇒ Tọa độ tâm I và bán kính R

2) Biết bán kính R của mặt cầu

Khi đó d(I;(P))=R

⇒ Tìm được t ⇒ Tọa độ tâm I

3) 2 mặt phẳng cùng tiếp xúc với mặt cầu

Khi đó, cho khoảng cách từ tâm đến các mặt phẳng bằng nhau và cùng bằng bán kính mặt cầu.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho điểm A (1; 3; 2), đường thẳng và mặt phẳng (P): 2x – 2y +z – 6 = 0. Phương trình mặt cầu (S) đi qua A, có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với (P) là:

Hướng dẫn:

Phương trình đường thẳng 

Gọi I là tâm mặt cầu, do I thuộc d nên I (-1+2t; 4 – t; -2t)

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P))

IA

Do mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với (P) nên d(I;(P))=IA=R

⇔ 65t² +110t-175=0

Khi đó, phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)² +(y-3)² +(z+2)²=16

(x+(83/13))² +(y -(87/13))² +(z -(70/13))²=13456/169

Bài 2: Cho hai điểm A(1; -2; 3), B(-1; 0; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z + 4 =0. Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính AB/6 có tâm thuộc đường thẳng AB và (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P)

Hướng dẫn:

AB→=(-2;2;-2) ⇒ AB=|AB→ |=2√3

Gọi R là bán kính của mặt cầu (S). Theo giả thiết ta có:

R=AB/6= √3/3

Đường thẳng AB đi qua A (1; -2; 3) và có một vecto chỉ phương

AB→=(-2;2;-2) có phương trình là: 

Tâm I thuộc đường thẳng AB nên I(1-2t; -2+2t;3-2t)

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P))

Do mặt cầu tiếp xúc với (P) nên d(I;(P))=R

⇔ |-2t+6|=1

Với t=5/2 thì I ( -4; 3; -2)

Với t=7/2 thì I ( -6; 5; -4)

Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn là :

(x+4)² +(y-3)² +(z+2)²=1/3

(x+6)² +(y-5)² +(z+4)²=1/3

Bài 3: Cho đường thẳng và hai mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 2 = 0 và (Q): 2x + y + 2z – 1 = 0. Mặt cầu có tâm I nằm trên d và tiếp xúc với 2 mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình là?

Hướng dẫn:

d(I;(P))

d(I;(Q))

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với 2 mặt phẳng (P) và (Q) nên

⇔ |8t+9|=|9t+9|

Với t=0 thì I(1;2;3);R=3

Với t=-18/17 thì I(-19/17; 16/17; 15/17); R=3/17

Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn đề bài là:

(x-1)² +(y-2)² +(z-3)²=9

(x+(19/17))² +(y-(16/17))² +(z-(15/17))²=9/289

Bài 4: Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A (1; -1; 1)

Hướng dẫn:

Phương trình tham số của đường thẳng d là: 

Gọi I là tâm mặt cầu, do I thuộc đường thẳng d nên I(1+3t; -1+t;t)

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P))

IA² =(1+3t-1)² +(-1+t+1)² +(t-1)² =11t² -2t +1

Do mặt cầu tiếp xúc với (P) và đi qua A nên d(I;(P))=IA

⇔ (5t+3)² =11t² -2t +1

Với t = 0, ta có I (1; -1; 0), R = IA = 1

Với t=24/37, ta có I(109/37; (-13)/37; 24/37); R= IA =5929/1369

Theo bài ra, cần viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất nên viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; -1; 0), R = 1

(x-1)² +(y+1)² +z²=1