Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng

A. Phương pháp giải

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với mặt phẳng (P)

- Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên (P) biết: 

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương 

Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến là: 

- Mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với (P) có 

1 điểm thuộc d’ cũng thuộc (Q) là: (1; 2; -1)

Phương trình mặt phẳng (Q) là:

1.(x – 1) + 0.(y - 2) – 1.(z + 1) = 0 hay x – z – 2 = 0

- Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q)

Tọa độ của điểm M (x; y; z) thuộc d thỏa mãn:

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

Ví dụ: 2

Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của d trên (Oxy) biết : 

A. 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Mỗi điểm M (x; y; z) thuộc d có hình chiếu trên (Oxy) là điểm M’ (x; y; 0) thuộc d’ với d’ là hình chiếu của d trên (Oxy)

Vậy d’ có phương trình tham số là:

Chọn C.

Ví dụ: 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  và mặt thẳng (P): 3x+ 5y – z- 2= 0 . Gọi d’ là hình chiếu của d lên (P). Phương trình tham số của d’ là

A. 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Gọi mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P).

Đường thẳng d đi qua điểm B( 12; 9; 1) và có vectơ chỉ phương 

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 

=> Mặt phẳng ( Q) qua B( 12; 9; 1) có vectơ pháp tuyến 

=> Phương trình (Q): - 8( x- 12) + 7( y- 9) + 11(z- 1) = 0

Hay – 8x + 7y + 11z + 22= 0

+ Đường thẳng d’ cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q).

Tìm một điểm thuộc d’, bằng cách cho y= 0

Ta có hệ : 

=> M( 0; 0; - 2)∈ d

+ Đường thẳng d’ đi qua điểm M( 0; 0; - 2) và có vectơ chỉ phương 

Vậy phương trình tham số của d’ là: 

Chọn B.

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( 1; 1; -2) và B(0; 2; -2). Cho mặt phẳng ( P): x+ y- 2z- 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng ( P)?

A.

B.

C. 

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được :

1+ 1- 2.(-2) – 6 = 0 ( thỏa mãn).

Và 0+ 2- 2( -2) – 6= 0 ( thỏa mãn) .

=> Hai điểm A và B cùng thuộc mặt phẳng (P).

Suy ra; mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB.

=> Hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P) là chính nó.

+ Đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1; -2) và nhận vecto 

=> Phương trình AB: 

Chọn C.

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( -1; 2; 0) và B( 0; 1; 1). Mặt phẳng (P): 3x+ y- z + 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB trên mặt phẳng ( P)?

A. 

B.

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Gọi mặt phẳng (Q) chứa AB và vuông góc với (P).

Đường thẳng AB đi qua A( -1; 2;0) và có vectơ chỉ phương  .

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 

=> Mặt phẳng ( Q) qua A( - 1; 2; 0) có vectơ pháp tuyến  chọn vecto 

=> Phuong trình (Q): 0( x+ 1) + 1( y- 2) + 1( z- 0) = 0 Hay y+ z - 2= 0

+ Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q). Suy ra mỗi điểm M( x; y; z) thuộc d thì thỏa mãn : 

Tìm một điểm thuộc d, bằng cách cho x= 0

Ta có hệ: 

=> M( 0;-2; 4) ∈d

+ Đường thẳng d’ đi qua điểm M( 0; - 2; 4) và có vectơ chỉ phương 

Vậy phương trình tham số của d’ là: 

Chọn A.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A( 1; 0;0); B( 0; 1; 0) và C( 0; 0;1). Đường thẳng  . Gọi đường thẳng Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P). Trong các điểm sau điểm nào thuộc Δ?

A. ( 1; 2; -1)

B. ( 2; - 3; - 2)

C. (- 1; 3; -1)

D. ( 0; - 1; 0)

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương 

+ Phương trình mặt phẳng  hay x+ y+ z- 1= 0

+ Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P)

=> Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B(0; 1; 0) thuộc d và nhận vecto  làm vecto pháp tuyến chọn 

=> Phương trình mặt phẳng ( Q): 1(x- 0) + 0( y- 1) – 1( z- 0) = 0

Hay ( Q): x- z= 0

+ đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Do đó: với mỗi điểm M(x;y;z) thuộc Δ phải thỏa mãn: 

Đặt x= t => 

=> Phương trình tham số của đường thẳng Δ: 

+cho t= - 1 ta được điểm H( -1;3; -1) thuộc đường thẳng Δ.

Chọn C

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  ; mặt phẳng (P) đi qua H(1;1;1)và song song với mặt phẳng ( Q): x-2y+ z- 2= 0. Viết phương trình đường thẳng Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P)?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng ( Q) nên phương trình mặt phẳng ( P) có dạng: x- 2y + z+ D= 0

Mà điểm H( 1; 1; 1) thuộc (P) nên : 1- 2. 1+ 1+ D= 0 ⇔ D= 0

Vậy phương trình (P): x- 2y + z= 0

+ Đường thẳng d đi qua M(1 ;2; 0) và có vecto chỉ phương 

+ Gọi ( R) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).

=> (R) qua M( 1; 2; 0) và có vecto pháp tuyến 

=> Phương trình ( R): 2( x- 1) + 3( y- 2) + 4( z- 0) = 0 hay 2x + 3y+ 4z – 8= 0

+ Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng (P) và ( R). Do đó; với mỗi điểm N( x;y; z) thuộc đường thẳng Δ thỏa mãn:

Chọn một điểm thuộc Δ bằng cách cho y= 0; thay vào hệ phương trình trên ta được x= -4 và z= 4 => I( - 4; 0; 4) thuộc Δ.

Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương 

=> Phương trình đường thẳng Δ: 

Chọn D.

Ví dụ: 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  và mặt phẳng (P): 2x- y- z+ 4= 0. Gọi Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P). Biết phương trình đường thẳng Δ có dạng:  . Tính a+ b+ c?

A. 3

B. 2

C.– 4

D. 5

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua A( -2; 1; 0) có vecto chỉ phương 

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến  .

+ Gọi ( Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó; mặt phẳng (Q) chứa A( -2; 1; 0) và nhận vecto 

=> Phương trình ( Q): 1( x+ 2) + 1( y- 1) + 1( z-0) = 0 hay x+ y+ z+ 2 = 0

+ Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P) và ( Q). Với mỗi điểm M( x; y; z) thuộc Δ thỏa mãn hệ phương trình: 

Chọn một điểm thuộc Δ bằng cách cho y= 0 thay vào hệ ta được x= - 2 và z= 0

=> Điểm B( -2; 0; 0) thuộc Δ và Δ nhận vecto  làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng Δ: 

=> a= 0; b= 0 và c= 3 nên a+ b+c= 3

Chọn A.