Các dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Hàm lũy thừa:

1.1. Định nghĩa: Hàm số y = x^a với α ∈ R được gọi là hàm số lũy thừa.

1.2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số y = x^α là:

    • D = R nếu α là số nguyên dương.

    • D = R\{0} với α nguyên âm hoặc bằng 0.

    • D = (0;+∞) với α không nguyên.

1.3. Đạo hàm: Hàm số y = x^α, (α ∈ R) có đạo hàm với mọi x > 0 và (x^α)' = α.x^(α-1).

1.4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0;+∞).

D. Đồ thị:

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = x^α luôn đi qua điểm I(1;1).

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: y = x³, y = x^-2, y = x^π.

2. Hàm số mũ: y = a^x,(a > 0, a ≠ 1).

2.1. Tập xác định: D = R

2.2. Tập giá trị: T = (0,+∞), nghĩa là khi giải phương trình mũ mà đặt t = a^f(x) thì t > 0.

2.3. Tính đơn điệu:

    + Khi a > 1 thì hàm số y = a^x đồng biến, khi đó ta luôn có: a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) > g(x).

    + Khi 0 < a < 1 thì hàm số y = a^x nghịch biến, khi đó ta luôn có: a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) < g(x).

2.4. Đạo hàm:

2.5. Đồ thị: Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang.

3. Hàm số logarit: y = log_ax,(a > 0,a ≠ 1)

3.1. Tập xác định: D = (0, +∞).

3.2. Tập giá trị: T = R, nghĩa là khi giải phương trình logarit mà đặt t = log_ax thì t không có điều kiện.

3.3. Tính đơn điệu:

    + Khi a > 1 thì y=log_ax đồng biến trên D, khi đó nếu: log_af(x) > log_ag(x) ⇔ f(x) > g(x).

    + Khi 0 < a < 1 thì y=log_ax nghịch biến trên D, khi đó nếu log_af(x) > log_ag(x) ⇔ f(x) < g(x).

3.4. Đạo hàm:

3.5. Đồ thị: Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hướng dẫn:

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 1)

    Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞)

Bài 2: Tìm cực trị của hàm số y = log₂(x³-4x)

Hướng dẫn:

Vẽ bảng biến thiên, khi đó hàm số có 1 cực trị

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = log₂(x²-2x+3) trên đoạn [-1;2]

Hướng dẫn:

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x-ln(1+x)

Bài 2: Tính giá trị cực tiểu y_CT của hàm số y = xe^x.

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f(x)=e^x3-3x+3 trên đoạn [0;2]

Bài 4: Tìm tập giá trị T của hàm số f(x)=(lnx)/x với x ∈ [1;e² ].

Bài 5: Cho hàm số y = e^ax2+bx+c đạt cực trị tại x = 1 và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e. Tính giá trị của hàm số tại x=2.

Bài 6: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = (3x²+2m)⁵ đạt giá trị lớn nhất bằng 32 trên đoạn [2;3].

Bài 7: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = 4^x-2^x+2-mx+1 đồng biến trên khoảng (-1; 1).