Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau

Phương pháp giải

1. Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u₁→ và u₂→,

2. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→=[u₁→ , u₂→ ]

3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 0; -2) và (P) song song với hai đường thẳng và 

Hướng dẫn:

Đường thẳng d đi qua M (1; 1; 1) và có vecto chỉ phương u₁→(0; -2;1)

Đường thẳng d’ đi qua N (1; 0; 1) và có vecto chỉ phương u₂→(1; 2;2)

Ta có: [u₁→ , u₂→ ]=(-6;1;2)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P). Ta có (P) song song với d và d’ nên  nên n→ cùng phương với [u₁→ , u₂→ ]

Chọn n→=(-6;1;2) ta được phương trình mặt phẳng (P) là:

-6(x -1) +y +2(z -2) =0

⇔ 6x -y -2z -10 =0

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm B(1; -3; 2) và song song với trục Ox, Oy

Hướng dẫn:

Trục Ox có vecto chỉ phương u₁→(1; 0;0)

Trục Oy có vecto chỉ phương u₂→(0; 1;0)

Ta có: [u₁→ , u₂→ ]=(0;0;1)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P). Ta có (P) song song với d và d’ nên  nên n→cùng phương với [u₁→ , u₂→]

Chọn n→=(0;0;1) ta được phương trình mặt phẳng (P) là:

z-2=0

Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết mặt phẳng (P) qua điểm A(4; -3; 1) và song song với hai đường thẳng

và 

Hướng dẫn:

Đường thẳng d đi qua M (1; 0; 2) và có vecto chỉ phương u₁→(1; 3;2)

Đường thẳng d’ đi qua N (-1; 1; -1) và có vecto chỉ phương u₂→(2; 1;2)

Ta có: [u₁→ , u₂→ ]=(4;2; -5)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P). Ta có (P) song song với d và d’ nên  nên n→ cùng phương với [u₁→ , u₂→ ]

Chọn n→=(4;2; -5) ta được phương trình mặt phẳng (P) là:

4(x -4) +2(y +3) -5(z -1) =0

⇔ 4x +2y -5z -5 =0

Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (0; -3; 4) và song song với đường thẳng và trục Oz

Hướng dẫn:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u₁→(-2;3; -1)

Trục Oz có vecto chỉ phương u₂→(0; 0;1)

Ta có: [u₁→ , u₂→ ]=(3;2; 0)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P). Ta có (P) song song với d và d’ nên  nên n ⃗ cùng phương với [u₁→ , u₂→ ]

Chọn n→=(3;2; 0) ta được phương trình mặt phẳng (P) là:

3(x -0) +2(y +3) =0

⇔ 3x +2y +6 =0