Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song

Phương pháp giải

1. Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u₁→ và u₂→, lấy M thuộc d; N thuộc d’

2. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→=[u₁→ , MN→ ]

3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

Ví dụ minh họa

Bài 1: : Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và 

Hướng dẫn:

Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 1;1) và có vecto chỉ phương u₁→(0; -2;1)

Đường thẳng d’ đi qua điểm N (4; 3;1) và có vecto chỉ phương u₂→(0; -4;2)

Ta có: [u₁→ , u₂→ ]=0, MN→=(3;2;0)

Do [u₁→ , u₂→ ] =0 nên đường thẳng d và d’ song song.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và d’ song song nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→=[u₁→ , MN→ ] =(-2;3;6)

Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→ =(-2;3;6) và đi qua điểm M(1; 1; 1) là:

-2(x -1) +3(y -1) +6(z -1) =0

⇔ 2x -3y -6z +7 =0

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’ và 

Hướng dẫn:

Đường thẳng d đi qua điểm M (1; -1;12) và có vecto chỉ phương u₁→(1; -1;-3)

Đường thẳng d’ đi qua điểm N (1; 2;3) và có vecto chỉ phương u₂→(1; -1;-3)

Ta có: [u₁→ , u₂→ ]=0, MN→=(0;3;-9)

Do [u₁→ , u₂→ ]=0 nên đường thẳng d và d’ song song.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và d’ song song nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→=[u₁→ , MN→ ] =(18;9;3) =3(6;3;1)

Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→=(6;3;1) và đi qua điểm N (1; 2; 3) là:

6(x -1) +3(y -2) +(z -3) =0

⇔ 6x +3y +z -15 =0

Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và đường thẳng 

Hướng dẫn:

Trục Oz đi qua điểm O (0; 0; 0) và có vecto chỉ phương u₁→=(0;0;1)

Đường thẳng d đi qua điểm N (3; -1;5) và có vecto chỉ phương u₂→(0; 0;2)

Ta có: [u₁→ , u₂→ ]=0, ON→=(3;-1;5)

Do [u₁→ , u₂→ ]=0 nên đường thẳng Oz và d song song.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Oz và d song song nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→=[u₁→ , ON→ ]=(1;3;0)

Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→=(1;3;0) và đi qua điểm O (0; 0; 0) là:

x +3y =0

Bài 4: Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình:

Viết phương trình mặt phẳng chứa d và d’

Hướng dẫn:

Đường thẳng d đi qua điểm M (-7; 5; 9) và có vecto chỉ phương u₁→(3; -1;4)

Đường thẳng d’ đi qua điểm N (0; -4; -18) và có vecto chỉ phương u₂→(3; -1;4)

Ta có: [u₁→ , u₂→ ] =0, MN→ =(7;-9;-27)

Do [u₁→ , u₂→]=0 nên đường thẳng d và d’ song song.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và d’ song song nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→=[u₁→ , MN→ ] =(63;109; -20)

Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→=(63;109; -20) và đi qua điểm N (0; -4; -18) là:

63x +109(y +4) -20(z +18) =0

⇔ 63x +109y -20z +76 =0