Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

A. Phương pháp giải

Vị trí tương đối giữa đường thẳng d (đi qua M₀ và có vectơ chỉ phương u→) và đường thẳng d’ (đi qua M'₀ và có vectơ chỉ phương u'→)

- d và d’ cùng nằm trong một mặt phẳng ⇔ 

- d ≡ d’⇔ 

- d // d’ ⇔ 

- d và d’ cắt nhau: ⇔ 

- d và d’ chéo nhau ⇔ 

- 

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’

A. Song song

B. Trùng nhau

C. Cắt nhau

D. Chéo nhau

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có  ) và đi qua M₀ (-1;1;-2)

Đường thẳng d’  và đi qua M'₀(1;5;4)

Ta có:

Vậy d và d’ cắt nhau..

Chọn C.

Ví dụ: 2

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

A. Cắt nhau

B. Trùng nhau

C. Chéo nhau

D. Song song

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương  và đi qua M₀ (0;1;2)

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương 

Nên hai đường thẳng d và d’ song song.

Chọn D.

Ví dụ: 3

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

A. Trùng nhau

B. Cắt nhau

C. Song song

D. Chéo nhau

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương  ) và qua M₀ (0;0;-1)

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương  và đi qua M'₀(0;9;0)

Ta có:

Vậy d và d’ chéo nhau.

Chọn D.

Ví dụ: 4

Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:

A. a= 2

B. a= -3

C. a= -2

D. a= 4

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là 

Để d // d’ thì 

Khi đó đường thẳng d’ đi qua điểm N (1; 2; 2) và điểm N không thuộc d.

Vậy d // d’ khi và chỉ khi a = 2

Chọn A.

Ví dụ: 5

Xét vị trí tương đối của d và d’ biết:  và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P) : 2x – 3y – 3z – 9 = 0 và (P’): x – 2y + z + 3 = 0

A. Trùng nhau

B.Song song

C. Cắt nhau

D. Chéo nhau

Hướng dẫn giải

- Trước hết viết phương trĩnh đường thẳng d’

M’ (x; y; z) thuộc d’ có tọa độ thỏa mãn hệ:

Chọn z = 0 => 1 điểm M’ thuộc d là (27; 15; 0)

Vectơ chỉ phương của d’ là

- đường thẳng d có vecto chỉ phương 

Chọn A.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  . Khi đó, giá trị của m bằng bao nhiêu thì d₁ cắt d₂?

A. m= 0

B. m= 1

C. m= -2

D.Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d₁: đi qua A(1; 0; 1) và nhận vecto  làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d₂: đi qua B(0; -2; -m) và nhận vecto  làm vecto chỉ phương

+ để hai đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau thì:

 ⇔ - 3.( -1) – 1( - 2) + 5( - m- 1) =0 ⇔ 3+ 2- 5m- 5= 0 ⇔ 5m= 0 ⇔ m= 0

Chọn A.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. Δ cắt d và Δ vuông góc với d.

B. Δ và d chéo nhau, Δ vuông góc với d.

C. Δ cắt d và Δ không vuông góc với d .

D. Δ và d chéo nhưng không vuông góc.

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua A( 1; -1; 1) và có vecto chỉ phương  .

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm B(1; 1; -1) có véctơ chỉ phương là  .

+ Ta có 

=> Hai vecto  vuông góc với nhau. suy ra đường thẳng Δ vuông góc với d.

+ Mặt khác 

Suy ra Δ và d chéo nhau.

Chọn B.

Ví dụ: 8

Cho hai đường thẳng  . Tìm m để hai đường thẳng đã cho chéo nhau?

A. m ≠ -1

B. m ≠ -10

C. m ≠ 10

D. m ≠ 12

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d₁ đi qua A( 2; 0;-1) và có vecto chỉ phương  .

+ Đường thẳng d₂ đi qua B( 0; m; - 1) và có vecto chỉ phương 

+ Để hai đường thẳng đã cho chéo nhau khi và chỉ khi:  ⇔ 10+ m ≠ 0 hay m ≠ -10

Chọn B.