Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P

Phương pháp giải

Gọi I (a; b; c) ⇒ IM→=(x₀ - a ; y₀ - b ; z₀ - c)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→=(A;B;C)

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm M

Sử dụng các điều kiện cho trước để tìm k

⇒ I; R

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình (P): x – 2y + z – 1 = 0 và (Q): 2x + y – z + 3 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng (Oxy) và có hoành độ x_M=1

Hướng dẫn:

Điểm M thuộc mặt phẳng Oxy và có hoành độ x_M=1 nên M (1; y₀; 0)

Mặt khác M thuộc mặt phẳng Q nên 2. 1 + y₀ + 3 = 0 ⇒ y₀ =-5

⇒ M (1; -5;0)

Gọi I (a; b; c) là tâm mặt cầu

⇒ IM→=(1-a; -5-b; -c)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n→=(2;1;-1)

Do mặt cầu tiếp xúc với (Q) tại điểm M nên IM→ vuông góc với mặt phẳng (Q)

⇒ IM→= k n→

Mặt khác I thuộc mặt phẳng (P) nên tọa độ của I thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P)

⇒ a-2b+c-1=0

⇔ 1-2k+2(5+k)+k-1=0

⇔ k=-10

Với k=-10 thì I (21; 5; -10)

Bán kính của mặt cầu là R=|IM→ |=|k n→ |

= 10√6

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-21)² +(y-5)² +(z+10)² =600

Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - z + 2 = 0, (Q): 2x - y - z + 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm A (1; -1; 1) và có tâm thuộc mặt phẳng (Q)

Hướng dẫn:

Gọi I (a; b; c) là tâm của mặt cầu

⇒ IA→=(1-a; -1-b; 1-c)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→=(2;3;-1)

Do mặt cầu tiếp xúc với (P) tại điểm A nên IA→ vuông góc với mặt phẳng (P)

⇒ IA→= k n→

Lại có I thuộc mặt phẳng (Q) nên ta có:

2a-b-c+2=0

⇔ 2(1-2k)+(1+3k)-1-k+2=0

⇔ k=2

Với k = 2 thì I (-3; -7; 3)

Bán kính mặt cầu: R=|IA→ |=|k n→ |

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x+3)² +(y+7)² +(z-3)²=56

Bài 3: Cho điểm A(2; 5; 1) và mặt phẳng (P): 6x + 3y - 2z + 24 = 0, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt cầu (S) có diện tích 784π và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu.

Hướng dẫn:

Gọi H (a; b; c).

⇒ AH→=(a-2;b-5;c-1)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→=(6;3;-2)

Do H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P) nên AH→ vuông góc với mặt phẳng (P).

⇒ AH→ =k n→

Lại có H thuộc (P) nên 6a + 3b – 2c + 24 = 0

⇔ 6(6k+2)+3(3k+5)-2(-2k+1)+24=0

⇔ k=-1

⇒ H(-4;2;3)

Gọi R là bán kính mặt cầu.

Mặt cầu (S) có diện tích là 784π

⇒ 4πR² =784π ⇒ R=14

Gọi I (m, n, p) là tâm mặt cầu

⇒ IH→=(-4-m;2-n;3-p)

Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên ta có

Xét (*): |t n→ |=R

=14 ⇔ |t|=2 ⇔ t= ±2

Với t = 2 ta có I (-16; -4; 7)

Khi đó:

IA=21>R

⇒ A nằm ngoài mặt cầu.

Với t = - 2 ta có I (8; 8; -1)

Khi đó

IA= 7<R

⇒ A nằm trong mặt cầu.

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-8)² +(y-8)² +(z+1)²=196

Bài 4: Viết phương trình của mặt cầu (S) biết (S) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ Oxz tại điểm M(- 2;0;1) và (S) đi qua điểm A(2;2;1)

Hướng dẫn:

Gọi I (a; b; c) là tọa độ tâm của mặt cầu.

⇒ IM→=(-2-a; -b;1-c)

Mặt phẳng (Oxz) có vecto pháp tuyến n→=(0 ;1 ;0)

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oxz) tại M nên

Giải (1) :

IM→= k n→

Do mặt cầu đi qua A(2; 2;1) nên IA = R

Ta có : IA² =4² +(k+2)² =k² +4k +20

Từ (2) ⇒ IA² =R² =k² ⇒ k² +4k +20 =k²

⇒ k=-5

Vậy I (-2 ; 5 ; 1) và R = 5

Phương trình mặt cầu cần tìm là :

(x+2)² +(y-5)² +(z-1)²=25