Tìm tham số m để hàm số đơn điệu cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Hàm đa thức bậc ba: y=f(x)=ax³+bx²+cx+d (a≠0)

⇒ f'(x)=3ax²+2bx+c

    Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R khi và chỉ khi 

   Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R khi và chỉ khi

2. Hàm phân thức bậc nhất: 

    Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay ad-bc>0

   Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay ad-bc<0

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số  đồng biến trên tập xác định.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R

      + Ta có: y'=x²+2(m+1)x-(m+1)

      + Δ'=(m+1)²+4(m+1)=m²+6m+5

      + Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì 

   Vậy giá trị của tham số cần tìm là -5≤m≤-1

Ví dụ 2: Cho hàm số . Tìm giá trị của m để hàm số luôn đồng biến trên R.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R

      + Đạo hàm y'≠(m²-m) x²+4mx+3

      + Hàm số luôn đồng biến trên R  y'≥0 ∀ x∈R

    Xét m²-m=0 ⇒ 

   Với m=0 phương trình trở thành y=3x-1;y'=3>0 ∀x∈R

⇒ m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Với m=1 phương trình trở thành y=2x²+3x-1;y'=4x+3

    Khi đó y'>0 4x+3>0 x<-3/4

⇒ m=1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Xét m²-m≠0 

   Khi đó 

   Từ hai trường hợp trên ta có giá trị m cần tìm là -3≤m<0

Ví dụ 3: Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R\{m}

      + Đạo hàm  . Dấu của y' là dấu của biểu thức -m²-7m+8

      + Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định  y'>0 ∀x∈D

 -m²-7m+8>0  -8<m<1

    Vậy giá trị m cần tìm là -8<m<1

B. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x³ + 3x² + mx + 2 đồng biến trên R.

Câu 2: Tìm tập hợp tất cả các tham số thực của m để hàm số y = x³ - (m + 1) x²+3x+1 đồng biến trên khoảng (-∞;+∞).

Câu 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y =  đồng biến trên từng khoảng xác định.

Câu 4: Cho hàm số y=. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Câu 5: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = (mx + 5)/(x + 1)đồng biến trên từng khoảng xác định.

Câu 6: Tìm giá trị của m để hàm số y = sin⁡x - mx nghịch biến trên R

Câu 7: Cho m, n không đồng thời bằng 0. Tìm điều kiện của m, n để hàm số y = msinx - ncosx - 3x nghịch biến trên R.

Câu 8: Tìm tham số m thì hàm số y = sinx - cosx + 2017√2 mx đồng biến trên R.