Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau

Phương pháp giải

1. Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u₁→; u₂→

2. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→=[u₁→ , u₂→ ]

3. Lấy 1 điểm M trên d

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và 

Hướng dẫn:

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; 1) và có vecto chỉ phương u₁→(0; -2;1)

Đường thẳng d’ đi qua điểm N(1; 1; 1) và có vecto chỉ phương u₂→(0; -2;1)

Ta có: [u₁→ , u₂→ ]=(0;3;6), MN→=(0;0;0)

Do MN→ [u₁→ , u₂→ ]=0 nên đường thẳng d và d’ cắt nhau.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và d’ cắt nhau nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→=[u₁→ , u₂→ ] =(0;3;6) =3(0;1;2).

Phương trình mặt phẳng (P) là: y -2z -3 =0

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng  và 

Hướng dẫn:

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; -1; 12) và có vecto chỉ phương u₁→(1; -1;-3)

Đường thẳng d’ đi qua điểm N(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương u₂→(-1; 2;0)

Ta có: [u₁→ , u₂→]=(6;3;1), MN→=(0;3;-9)

Do MN→[u₁→ , u₂→ ]=0 nên đường thẳng d và d’ cắt nhau.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và d’ cắt nhau nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→=[u₁→ , u₂→ ]=(6;3;1)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

6(x -1) +3(y -2) +z -3 =0

⇔ 6x +3y +z -15 =0

Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và đường thẳng d có phương trình: 

Hướng dẫn:

Đường thẳng d đi qua điểm M(3; 5; 4) và có vecto chỉ phương u₁→(3; -1;4)

Đường thẳng Oy đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vecto chỉ phương u₂→(0; 1;0)

Ta có: [u₁→ , u₂→]=(-4;0;3), OM→=(3;5;4)

Do MN→[u₁→ , u₂→ ]=0 nên đường thẳng d và Oy cắt nhau.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và Oy cắt nhau nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→=[u₁→ , u₂→ ]=(-4;0;3)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

-4x +z =0

⇔ 4x -z =0