Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường elip

Phương pháp giải

+ Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F₁;F₂, với F₁F₂ = 2c (c > 0). Đường Elip là tập hợp các điểm M sao cho trong đó a là số cho trước lớn hơn c.

Hai điểm F₁;F₂, được gọi là tiêu điểm của Elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của Elip.

+ Phương trình chính tắc của Elíp có tiêu điểm F₁ (c;0);F₂ (-c;0) :

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Cho số phức z thỏa mãn |z - 4| + |z + 4| = 10 . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mô – đun của số phức z là

A.10 và 4        B. 5 và 4        C. 4 và 3        D. 5 và 3.

Hướng dẫn:

Giải theo tự luận

Cách 1: Giả sử z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x ;y) . Giả sử F₁ (4;0); F₂ (0;-4) khi đó tập hợp các điểm M thỏa mãn là MF₁ + MF₂ = 10 là đường elip có các tiêu điểm là F₁;F₂, và trục lớn bằng 10.

Từ đó ta tìm được 2c = F₁F₂ = 8 <=> c = 4 .

2a = 10 nên a = 5

suy ra b² = a² - c² = 25 - 16 - 9 => b = 3 .

Từ đó 

Vì M di động trên (E) nên z = |OM| lớn nhất, nhỏ nhất khi OM lần lượt là độ dài nửa bán trục lớn, nửa bán trục nhỏ. Hay max |z| = 5 ; min|z| = 3 .

Chọn D.

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức “tam giác” dạng |A| + |B| ≥ |A+B| suy ra

10 = |z - 4| + |z + 4| ≥ |(z - 4) + (z + 4)| = |2z| = 2|z| > |z| ≤ 5. Vậy |z| = 5 .

Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi

Ví dụ 2: Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa đọ Oxy để  số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H).

Hướng dẫn:

Giả sử z = a + bi, khi đó , giả thiết của bài toán là

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là điểm M(a; b) thuộc miền trong của elip  (kể cả các điểm trên biên).

+ Bán trục lớn của (E) là a = 3, bán trục bé của (E) là b = 1 nên diện tích cần tính của miền (H) là S = πab = 3π .

Chọn A.

Ví dụ 3:Trong mặt phẳng phức Oxy, tâp hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho z² là số thuần ảo là hai đường thẳng d₁;d₂ . Góc giữa 2 đường thẳng d₁;d₂ là bao nhiêu?

A.α = 45^o . B.α = 60^o . C.α = 90^o . D.α = 30^o .

Hướng dẫn:

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi

Ta có: z² = (x² - y²) + 2xyi là số thuần ảo =>

x² - y² = 0 ∧ xy ≠ 0 => y = ± x => α = 90^o

Chọn C.