Cách xét tính đơn điệu của hàm số cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

    Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

    Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

    Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

    Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

    Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

4. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước

   Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)

   Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm x_o sao cho f'(x_o) = 0 hoặc f'(x_o) không xác định.

   Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y=x³ - 6x² + 9x -3

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R

Ta có y' = 3x² - 12x + 9

y' = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

Ví dụ 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau √(2x-x²)

Hướng dẫn

Tập xác định D = [0; 2]

Ta có : y' =  y' = 0 ⇔ x=1

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1); Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2)

Ví dụ 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3x + 1)/(1 - x)

Hướng dẫn

Hàm số xác định và liên tục trên D = R\{1}.

Tìm y' =  > 0; ∀x ≠ 1.

Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞ ; 1)và (1 ; +∞).

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = y= -x³ + 6x² - 9x + 4

Bài 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3 - 2x)/(x + 7)

Bài 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = x⁴ + 4x + 6

Bài 4: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = 

Bài 5: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = 

Bài 6: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = 

Bài 7: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = |x² - 2x - 3|

Bài 8: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = 2sinx + cos2x,x ∈ [0; π]