Tìm điểm thuộc đường thẳng trong không gian thỏa mãn điều kiện

A. Phương pháp giải

+ Để tìm điểm thỏa điều kiện cho trước ta thường tham số hóa điểm M theo biến t, sau đó ta chỉ cần tìm giá trị t (dựa vào điều kiện bài toán đưa ra).,

Để tham số hóa điểm M ta phải đưa đường thẳng Δ về dạng tham số.

+ Sử dụng công thức tính khoảng cách hai điểm; khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng; khoảng cách hai đường thẳng....

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  và điểm A( 2; - 5; - 6) . Tìm tọa độ điểm M nằm trên Δ sao cho  .

A. M(1; 0 ; 1) hoặc M(5; 0; - 7) .

B. M (1; -2; -1) hoặc M( 5; 0; - 7) .

C. M( 1; 0; -2) hoặc M( - 5; 0; 7)

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Vì điểm M thuộc Δ nên tọa độ M(1+ 2t;-2+ t; -1- 3t )

Chọn B.

Ví dụ: 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  và mặt phẳng (α): x- 2y – 2z + 5= 0. Tìm điểm A trên d sao cho khoảng cách từ A đến α bằng 3.

A. A( 0; 0 ; - 1) hoặc ( 1; 2; 3)

B. A( -2; 1; - 2) .

C. A( 2;-1; 0) hoặc ( 0; 0; -1)

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Điểm A nằm trên đường thẳng d nên tọa độ A( 2t; -t; -1+ t)

Ta có khoảng cách từ A đến α là

Chọn D.

Ví dụ: 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ y+ z- 3= 0 và đường thẳng  . Biết điểm M thuộc Δ và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng . Tọa độ điểm M là

A. M( 4; -5 ; - 2) hoặc M( 2; 1; 0)

B. M( -1; -3; 2) hoặc M( -2; 7; 4)

C. M( 4; -5; - 2) hoặc M( -2; 7; 4)

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

Suy ra M( 4; -5; - 2) hoặc M( - 2; 7 ; 4)

Chọn C.

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  và hai điểm A(1; -1; 2); B( 2;-1; 0) . Biết điểm M có hoành độ dương thuộc Δ và tứ diện OABM có thể tích bằng ( với O là gốc tọa độ ). Khi đó tọa độ điểm M là

A.M( 3; - 2; 1)

B. M( 11; -6; 5)

C. M( 5; -3; 2)

D. M( 7; -4; 3)

Hướng dẫn giải

Suy ra ⇒

Khi đó thể tích tứ diện OABM là

Chọn B.

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng ( P): 3x- 4y + 1= 0, ( Q): 4x+ 3z – 10 = 0 và đường thẳng  . Có điểm A thuộc d và cách đều hain mặt phẳng (P) và ( Q) . Tọa độ điểm A là

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

Do điểm A thuộc đường thẳng d nên tọa độ A( t; - 1+ 2t;2- t)

Ta có: d(A;(P))= d( A; ( Q))

Chọn A

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  và hai điểm A( -2; 1;1) và B( -3; -1; 2). Điểm M có hoành độ dương thuộc Δ và tam giác MAB có diện tích bằng  . Khi đó tọa độ điểm M là :

A. M( - 1; 3; - 1)

B. M( 0; 7; - 9)

C.M( -9; 2; 1)

D. M( -2; 1; - 5)

Hướng dẫn giải

Diện tích tam giác MAB là:

Chọn D.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  . Biết M thuộc tia Ox và khoảng cách từ M đến Δ bằng OM. Tọa độ điểm M là

A. M( 1; 0; 0 )

B. M( -2; 0; 0)

C. M(2; 0; 0 )

D.M( - 1;0; 0 )

Hướng dẫn giải

Do điểm M thuộc tia Ox nên tọa độ M( t; 0; 0) với t > 0 .

Suy ra 

Mà 

Chọn C.

Ví dụ: 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  . Xét hình bình hành ABCD có A( 1;0;0), C( 2; 2;2) và biết diện tích hình bình hành ABCD bằng  . Tọa độ điểm B

A. B(0;- 2;4)

B. B( -2; 3; 1)

C. B( 0;1; 3)

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

Điểm D thuộc d nên D (-2+ t; 3- 2t;1- 2t)

Khi đó 

Ta có:

Suy ra 

Từ (1) và ( 2) suy ra

Mặt khác ABCD là hình bình hành nên 

Chọn D.

Ví dụ: 9

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  và mặt cầu (S): x₂+ y₂ + z₂ -2x – 4y + 2z+5= 0 . Tọa độ điểm M trên (S) sao cho d(M; d) đạt GTLN là:

A. (1; 2; -1).

B. ( 2;2; -1).

C.(0; 2; -1).

D. (-3; - 2; 1)

Hướng dẫn giải

+Mặt cầu ( S) có tâm I( 1;2; -1) bán kính R= 1

+ Đường thẳng d đi qua A( 2; 0;1) và có vecto chỉ phương 

Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là:

Suy ra (S) tiếp xúc với d và tiếp điểm là H.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d=> H( 2; 2; -1)

Đường thẳng IH: đi qua I(1; 2; -1) và có vecto chỉ phương 

=> Phương trình IH: 

Tọa độ giao điểm của IH và (S) là nghiệm hệ phương trình: x₂+ y₂ + z₂ -2x – 4y + 2z+5= 0 .

Thay (1); (2) và(3) vào (*) ta được :

(1+ t)2+ 4+1- 2( 1+ t) – 4.2 + 2. ( -1) + 5= 0

Ta có: 

Vậy khoảng cách từ M đến d đạt giá trị lớn nhất khi M≡A( 0;2; -1).

Chọn C.

Ví dụ: 10

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-3;3; -3)thuộc mặt phẳng (α):2x-2y+z+15=0 và mặt cầu (S):(x-2)²+(y-3)²+(z-5)²=100. Đường thẳng Δ qua A, nằm trên mặt phẳng (α) cắt (S) tại A; B. Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng là:

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; 5) , bán kính R= 10.

Khoảng cách từ I đến (α) là: 

=> Δ luôn cắt (S) tại 2 điểm A và B.

Khi đó 

Do đó, AB lớn nhất thì d(I,(Δ)) nhỏ nhất nên Δ qua H với H là hình chiếu vuông góc của I lên (α). Phương trình 

Do vậy  là véc tơ chỉ phương của Δ .

Phương trình của Δ: 

Chọn A.

Ví dụ: 11

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-3; 3; -3) thuộc mặt phẳng (α):2x-2y+z+15=0 và mặt cầu (S):(x-2)²+(y-3)²+(z-5)²=100 và . Đường thẳng Δ qua A, nằm trên mặt phẳng (α) cắt (S) tại A; B. Để độ dài AB nhỏ nhất thì phương trình đường thẳng là:

A. 

B. 

C.

D. 

Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; 5) , bán kính R= 10.

Khoảng cách từ I đến (α) là: 

=> luôn cắt (S) tại 2 điểm A và B.

Khi đó  .

Do đó AB nhỏ nhất thì d(I,(Δ)) lớn nhất nên Δ là đường thẳng nằm trong (α), qua A và vuông góc với AI.

Do đó Δ có véctơ chỉ phương 

Vậy, phương trình của Δ:  .

Chọn A.