Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng

Phương pháp giải

1. Tìm vecto chỉ phương của Δ, Δ' là u₁→; u₂→

2. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là n_α →=[u₁→ , u₂→ ]

3. Lấy 1 điểm M trên đường thẳng Δ

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng  và song song với đường thẳng 

Hướng dẫn:

Đường thẳng d₁ đi qua điểm M (1; 1; 1) và có vecto chỉ phương u₁→(0; -2;1)

Đường thẳng d₂ đi qua điểm N (1; 0;1) có vecto chỉ phương u₂→(1;2;2)

Ta có: [u₁→ , u₂→ ]=(-6;1;2)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có:

 nên n→ cùng phương với [u₁→ , u₂→]

Chọn n→=(-6;1;2)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 1; 1) và nhận vecto pháp tuyến n→=(-6;1;2) có phương trình là:

-6(x -1) +1(y -1) +2(z -1) =0

⇔ -6x +y +2z +3=0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là -6x +y +2z +3 =0.

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’

Hướng dẫn:

Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 5; 4) và có vecto chỉ phương u₁→ (2; 0;-1)

Đường thẳng d’ đi qua điểm N (3; 6;0) có vecto chỉ phương u₂→ (1;1;-1)

Ta có: [u₁→ , u₂→ ]=(1;3;2)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có:

 nên n→ cùng phương với [u₁→ , u₂→ ]

Chọn n→ =(1;3;2)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 5; 4) và nhận vecto pháp tuyến n→ =(1;3;2) có phương trình là:

(x -1) +3(y -5) +2(z- 4) =0

⇔ x +3y +2z -20 =0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x +3y +2z -20 =0.

Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình mặt phẳng chứa:và song song với

Hướng dẫn:

Đường thẳng d₁ đi qua điểm M (1; -2; 4) và có vecto chỉ phương u₁→(-2; 1;3)

Đường thẳng d₂đi qua điểm N (-1; 0;-2) có vecto chỉ phương u₂→(1;-1;3)

Ta có: [u₁→ , u₂→ ]=(6;9;1)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có:

 nên n ⃗ cùng phương với [u₁→ , u₂→ ]

Chọn n→=(6;9;1)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; -2; 4) và nhận vecto pháp tuyến n→=(6;9;1) có phương trình là:

6(x -1) +9(y +2) +(z -4) =0

⇔ 6x +9y +z +8 =0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy thỏa mãn.

Vậy không tồn tại mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6;2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD có phương trình là:

Hướng dẫn:

AB→=(-4;5;-1); CD→=(-1;0;2)

⇒ [AB→ , CD→]=(10;9;5)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên ta có:  ⇒ n→ cùng phương với [AB→ , CD→ ]

Chọn n→=(10;9;5)

Vậy phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→=(10;9;5) và đi qua điểm A(5; 1; 3) là:

10(x -5) +9(y -1) +5(z -3) =0

⇔ 10x +9y +5z -74 =0

Thay tọa độ C, D vào phương trình thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là

⇔ 10x +9y +5z -74 =0