Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 2)

Cho |z + a| = |z + b| Tìm Max, min P với P = |z + z₁| + |z + z₂|

1. Phương pháp

Cách 1:

+) Bước 1: Khai triển |z + a| = |z + b| đưa về dạng đường thẳng

+) Bước 2 : Từ P ta tìm tọa độ điểm A ; B và xét vị trí tương đối của A ;B với d

+) Khi đó z là M thỏa mãn P min :

Cách 2:

Áp dụng

BĐT Bunhia Copski: (Ax + By)² ≤ (A² + B²)(x² + y²) nếu tìm max

BĐT Mincopxki:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 1| = √2. Tìm giá trị lớn nhất của T = |z + i|+ |z - 2 - i|

A. maxT = 8√2    B. maxT = 4    C. maxT = 4√2    D. maxT = 8

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến ta có:

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì

T² ≤ (|z + 1|² + |z - 1|²)(1²+ 1²) = 16 => T ≤ 4

Chọn đáp án là B.

Ví dụ 2: Cho |z - i| + |z - 3 + 3i| = 6. Tính max min của P = |z - 6 + 7i|

Hướng dẫn:

Cách 1: PP hình học

Nhắc lại: Gọi A và B là điểm biểu diễn z₁; z₂ và M là điểm biểu diễn z; C là điểm biểu diễn z₃ trong P

Khi đó MA + MB = k

Nếu MA+ = AB thì điểm biểu diễn là đường thẳng

Nếu MA + MB > AB thì điểm biểu diễn là elip

Khi đó ta vẽ hình biểu diễn các điểm A, B, C trên mặt Oxy và xác định M trong các trường hợp là đường thẳng hoặc elip sao cho MC ngắn nhất hoặc lớn nhất.

Lời giải

Gọi A(0; 1);B(3; -3);C(6; -7);M(x; y)

Khi đó MA + MB = 6; Tìm max min của MC

Ta thấy MA + MB > AB => Elip Trong đó I là trung điểm AB

Khi đó

MC min khi MC = B’C = BC - BB’ = BC - (a - c) = 5 - (1/2) = 4,5

MC max khi MC = A’C = AC + AA’ = AC + (a - c) = 10 + (1/2) = 10,5

Cách 2: Dùng máy tính CASIO

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn |z - 2 - 3i| = 1. Giá trị nhỏ nhất của |z + 1 + i| là:

A. √13 - 1    B. 4    C. -4    D. √13 + 1

Hướng dẫn:

Ta có:

|z + 1 + i| = |z + 1 -i| = |(z - 2 - 3i) + (3 + 2i)| ≥ ||z - 2 - 3i| - |3 + 2i|| = √13 - 1

Chọn đáp án là A.

Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = |z + 1| + 2|z - 1|

A. max T = 2√5    B. max T = 2√10    C. max T = 3√5    D. max T = 3√2

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến ta có:

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì:

T² ≤ (|z + 1|² |z - 1|²)(1² + 2²) = 20 => T ≤ 2√5

Chọn đáp án là A.

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T = |z + 1| + 3|z - 1|

A. max T = 3√10    B. max T = 2√10     C. max T = 6    D. max T = 4√2

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức trung tuyến ta có :

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì

T² ≤ (|z + 1|² + |z - 1|²)(1² + 3²) = 40 => T ≤ 2√10

Chọn đáp án là B.

Ví dụ 6: Cho số phức z thay đổi và thỏa mãn |z - 1 - i| = 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2|z - 8i| - |z - 7 - 9i| bằng:

Hướng dẫn:

Gọi M(x; y) biểu diễn số phức z, từ |z - 1 - i| = 5 thì M nằm trên đường tròn (x - 1)² + (y - 1)² = 25 có tâm và bán kính : I(1; 1), R = 5.

Gọi A(0; 8); B(7; 9) thì:

Phân tích : mục tiêu tìm tọa độ điểm sao cho MB = 2MC, nhận thấy IB = 2IM = 2R nên ta có hai cách tìm tọa độ điểm C như sau :

Cách 1 : (x - 1)² + (y - 1)² = 25 ⇔ T = x² + y² - 23 = 0

Nên chọn điểm  thì MB = 2MC

Cách 2 : Lấy điểm C thỏa mãn  thì tam giác IMC đồng dạng với tam giác IMB nên ta có MB = 2MC từ đó 

Ta có: P = 2MA - MB = 2(MA - MC) ≤ 2Ac = 5√5

Dấu "=" đạt được khi điểm C nằm trên đoạn AM.

Chọn B.

Ví dụ 7: Cho số phức z thoả mãn:

Giá trị lớn nhất của biểu thức: P = |z - 5 - 2i| bằng

A. √2 + 5√3     B. √2 + 3√5

C. √5 + 2√3     D. √5 + 3√2

Hướng dẫn:

Cách 1: Đại số

Đặt z = a + bi

Từ giả thiết:

⇔ 2|a| + 2|b| = a² + b²

⇔ (|a| - 1)² + (|b| - 1)² = 2 (1)

Ta có:

Dễ thấy P lớn nhất khi a, b ≤ 0. Khi đó:

Do a, b ≤ 0 nên từ (1) ta có: (a + 1)² + (b + 1)² = 2

Chọn B.

Cách 2: Hình học

Đặt z = a + bi.

Từ giả thiết

⇔ 2|a| + 2|b| = a² + b²

⇔ (|a| - 1)² + (|b| - 1)² = 2 (1)

Tập hợp M biểu diễn z thuộc các phần đường tròn cùng bán kính là R = √2 có tâm là A(-1; 1), B(1; 1), C(1; -1), D(-1; -1) nằm chọn vẹn trong 1 góc phần tư (bỏ đi các cung nhỏ).

P = ME với E(5; 2). Từ hình vẽ ta thấy max P = HE = ED + √2 = 3√5 + √2

Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A. 10     B. 20    C. 2√5    D. 4√5

Hướng dẫn:

Ta có:

Gọi M là điểm biểu diễn số phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có phương trình:

(x - 2)² + (y - 3)² = 20 (C)

= |z + i| + 2|z - 4 - 7i|, A(0; -1); B(4; 7) lần lượt biểu diễn 2 số phức z₁ = -i, z₂ = 4 + 7i. Ta có A, B ∈ (C), AB = 4√5 = 2R nên nên AB là bán kính đường tròn (C)=> MA² + MB² = AB² = 80

Mặt khác:

dấu “=” xảy ra khi MB = 2MA

Vậy maxP = 20

Chọn B.