Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Phương pháp giải & Ví dụ

Chú ý khi giải toán

    + Một hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là đường cao.

    + Một hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì cạnh bên là giao tuyến của hai mặt đó vuông góc với đáy

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ở B, AC=a√2, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn:

ABC là tam giác vuông cân ở B, AC=a√2 nên

SA vuông góc với mặt phẳng ABC nên SA là đường cao

Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4; AB = 6; BC = 10 và CA = 8. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

Hướng dẫn:

Nửa chu vi của tam giác là: p = 12

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 30º.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC

Hướng dẫn:

Do SA ⊥ (ABC) nên AB là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (ABC).

⇒ Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là 

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

∆ABC đều cạnh a nên

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt phẳng S.ABCD bằng 60º. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Hướng dẫn:

SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD)

Do đó, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là 

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy và AB = a, AC = 2a, góc BAC = 120º. Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60º. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn:

Gọi F là hình chiếu vuông góc của A lên BC.

(SBC) ∩ (ABC) = BC

Vậy góc giữa (SBC) và (ABC) là góc SFA = 60º

Xét tam giác ABC, AB = a, AC = 2a, góc BAC = 120º có:

Xét tam giác ABF vuông tại F có:

Xét tam giác ABF vuông tại F có: