Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2

A. Phương pháp giải

Cách 1:

- Viết PT mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d₁

- Tìm giao điểm B = (P) ∩ (d₂)

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Cách 2:

- Viết PT mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d₁

- Viết PT mặt phẳng (Q) đi qua A và chứa đường thẳng d₂

- Đường thẳng d cần tìm là d = (P) ∩ (Q)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A( 1; - 1; 3) và hai đường thẳng  . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng d₁ và cắt đường thẳng d₂.

A. 

B.

C. 

D.

Hướng dẫn giải

+ Gọi ( P) là mặt phẳng qua A vuông góc với đương thẳng d₁.

Đường thẳng d₁ có vecto chỉ phương là ( 1; 4; -2) nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: 

=> Phương trình mặt phẳng (P) là: 1( x-1) + 4( y+1) – 2( z- 3) =0 .Hay x+ 4y – 2z + 9= 0

+Gọi giao điểm của đường thẳng d₂ và mặt phẳng ( P) là điểm B

Do B thuộc d₂ nên tọa độ B( 2+ t; - 1- t; 1+ t) . Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng (P) ta được : 2+ t + 4( - 1- t) – 2( 1+ t) + 9= 0 ⇔ 2+ t- 4 – 4t- 2- 2t + 9= 0 ⇔ - 5t+ 5= 0 ⇔ t= 1 => B( 3; -2; 2)

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AB: Đi qua A(1; -1;3) nhận vecto 

=> Phương trình chính tắc của đường thẳng AB:

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng  . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A( 1;2; -2) vuông góc với d₁ và cắt d₂ là:

A.

B.

C.

D. 

Hướng dẫn giải

+ Gọi giao điểm của của d và d₂ là B.

Do B thuộc d₂ nên tọa độ B( t; 1+ 2t; t) =>  .

+ Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương 

+ Do đường thẳng d vuông góc với d₁ nên  =>  = 0 ⇔ 2( t-1) + 2( 2t- 1) + 1(t+ 2) = 0 ⇔ 2t – 2 + 4t – 2+ t+ 2= 0 ⇔ 7t- 2= 0 nên t= 2/7

+ Đường thẳng d đi qua điểm A ( 1; 2; - 2) và có vectơ chỉ phương  chọn vecto chỉ phương ( 5; 3; - 16)

Vậy phương trình của d là: 

Chọn A.

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng:  và điểm A (1; 2; 3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A,vuông góc với d₁ và cắt d₂.

A.

B. 

C. 

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

- Gọi mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là 

Phương trình mặt phẳng (P) là: 2.(x – 1) – 1 . (y – 2) + 1. (z – 3) = 0 hay 2x – y + z – 3 = 0

-Gọi giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng d₂ là B

B thuộc d₂ nên tọa độ B( 1- t; 1+ 2t; - 1+ t)

Thay tọa độ ( B) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: 2( 1- t) – ( 1+ 2t) + ( - 1+ t) – 3= 0 ⇔ 2- 2t- 1- 2t- 1+ t- 3= 0 ⇔ -3t – 3= 0 nên t= -1

Suy ra: B (2; -1; -2)

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Vectơ chỉ phương của d là: 

Vậy phương trình đường thẳng d là: 

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho hai đường thẳng:  Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (0; 1; 1), vuông góc với d₁ và cắt d₂.

A. 

B.

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

- Goi mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là 

- Một điểm thuộc d₂ là : M (0; 0; 2) ; 

Mặt phẳng (Q) đi qua A và chứa đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là: 

=> 

- Đường thẳng cần tìm d = (P)∩(Q)

Vectơ chỉ phương của d là

=>

Vậy phương trình đường thẳng d là: 

Chọn B.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm N(1; 1; -2) vuông góc với đường thẳng  và cắt trục hoành có phương trình là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi  .

Ta có  , Khi đó:

Do  ⇔ 2m+ 5= 0 

⇒

Suy ra một vecto chỉ phương của đường thẳng là: 

Phương trình của d đương thẳng d: 

Chọn C .

Ví dụ 6.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A(1; 2; 3) và B( 3; 0; 1). Gọi M là trung điểm của AB. Đường thẳng d đi qua M vuông góc với trục tung và cắt đường thẳng  . Viết phương trình đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M(2; 1; 2)

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là: H( 2; 1+ t; 2t)=> 

Ta có vecto chỉ phương của trục tung là:  , Khi đó:

Do  ⇔ t= 1 nên tọa độ H( 2; 2; 2)

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng MH: đi qua M( 2; 1; 2) và vecto chỉ phương 

=> Phương trình đường thẳng d: 

Chọn A.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng  . Gọi d là đường thẳng qua M( 2; 3; 1); cắt d₁ và vuông góc với d₂. Trong các vecto sau; vecto nào là vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A. ( 1; 2; 1)

B. ( 1; -2; -2)

C. (1; -1; -2)

D.( 1; 1;-2)

Hướng dẫn giải

+ Gọi mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là 

- Một điểm thuộc d₂ là : N (1; 1; 2); 

Mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là: 

- Đường thẳng cần tìm d = (P)∩(Q)

Vectơ chỉ phương của d là 

Chọn D

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  . Gọi d là đường thẳng qua A( -1; -1;2) ; cắt d1 và vuông góc với trục hoành. Biết phương trình tham số của đường thẳng d có dạng :  . Tính a+ b+ c?

A. – 3

B. 5

C. 7

D. - 1

Hướng dẫn giải

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và d1 là: H( 2+ 3t; 1- t; 2t)=> 

Ta có vecto chỉ phương của trục hoành là:  , Khi đó:

Do  ⇔ 3+ 3t= 0 nên t= - 1 => tọa độ H( -1; 2; - 2)

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AH: đi qua A(-1; -1;2) và vecto chỉ phương 

=> Phương trình đường thẳng d:

Suy ra: a= -1; b=2 và c= 4 nên a+ b+ c= 5

Chọn B.

Ví dụ 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng  . Phương trình đường thẳng d vuông góc với (P): 7x+ y- 4z= 0 và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ là:

A: 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm của đường thẳng d với hai đường thẳng d₁; d₂ lần lượt là A và B.

+ Điểm A∈ d₁ nên tọa độ A( 2a; 1- a; - 2+ a)

Điểm B∈ d₂ nên tọa độ B( - 1+ 2b; 1+ b; 3)

=> 

+ Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 

+ Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P) nên hai vecto AB→  và n_p→ cùng phương ⇔ có một số k thỏa mãn 

⇔

+ Đường thẳng d đi qua điểm A( 2; 0; -1) và có vectơ chỉ phương 

Vậy phương trình của d là: 

Chọn A.