Lý thuyết tổng hợp chương Phương pháp tọa độ trong không gian

Tóm tắt lý thuyết

** HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

    Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i→, j→, k→ là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

    Chú ý: 

2. Tọa độ của vectơ

    a) Định nghĩa: u→ = (x; y; z) ⇔ k→ = xi→ + yj→ + zk→

    b) Tính chất: Cho a→ = (a₁; a₂; a₃), b→ = (b₁; b₂; b₃), k ∈ R

    • a→ ± b→ = (a₁ ± b₁; a₂ ± b₂; a₃ ± b₃; )

    • ka→ = (ka₁; ka₂; ka₃)

    • 0→ = (0; 0; 0), i→ = (1; 0; 0), j→ = (0; 1; 0), k→ = (0; 0; 1)

    • a→ cùng phương b→ (b→ ≠ 0→) ⇔ a→ = kb→ (k ∈ R)

    • a→.b→ = a₁.b₁ + a₂.b₂ + a₃.b₃

    • a→ ⊥ b→ ⇔ a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0

3. Tọa độ của điểm

    a) Định nghĩa: M(x; y; z) ⇔ OM→ = x.i→ + y.j→ + z.k→ (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

    Chú ý: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0

    • M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 .

    b) Tính chất: Cho A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B)

    • AB→ = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)

    • Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB:

    • Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

    • Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

4. Tích có hướng của hai vectơ

    a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a→ = (a₁; a₂; a₃), b→ = (b₁; b₂; b₃). Tích có hướng của hai vectơ a→ và b→ kí hiệu là [a→, b→], được xác định bởi

    Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

    b) Tính chất:

    • [a→, b→] ⊥ a→; [a→, b→] ⊥ b→

    • [a→, b→] = -[b→, a→]

    • [i→, j→] = k→; [j→, k→] = i→; [k→, i→] = j→

    • |[a→, b→]| = |a→|.|b→|.sin(a→, b→) (Chương trình nâng cao)

    • a→, b→ cùng phương ⇔ [a→, b→] = 0→ (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

    c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)

    • Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a→, b→ và c→ đồng phẳng ⇔ [a→, b→].c→ = 0

    • Diện tích hình bình hành ABCD: S_ABCD = |[AB→], AD→|

    • Diện tích tam giác ABC: S_ABC = 1/2 |[AB→], AC→|

    • Thể tích khối hộp ABCDA'B'C'D' : V_{ABCD.A'B'C'D'} = |[AB→, AD→].AA'→|

    • Thể tích tứ diện ABCD: V_ABCD = 1/6 |[AB→, AC→].AD→|

    Chú ý:

    – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.

    – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

5. Phương trình mặt cầu

    a) Định nghĩa:

    Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.

    Kí hiệu: S(I; R) ⇔ S(I; R) = {M|IM = R}

    b) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng :

    Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.

    c) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng :

    * Lưu ý: Trong trường hợp Δ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

        + Xác định: d(I; Δ) = IH

        + Lúc đó:

** PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

    • Vectơ n→ ≠ 0→ là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của n→ vuông góc với mặt phẳng (α)

    • Chú ý:

    - Nếu n→ là một VTPT của mặt phẳng (α) thì kn→ cũng là một VTPT của mặt phẳng (α).

    - Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.

    - Nếu u→, v→ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (α) thì n→ = [u→, v→] là một VTPT của (α)

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

    - Trong không gian Oxy , mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:

    Ax + By + Cz + D = 0 với A² + B² + C² ≠ 0

    - Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một VTPT là n→(A; B; C).

    - Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M_o(x_o; y_o; z_o) và nhận vectơ n→(A; B; C) khác 0→ là VTPT là: A(x - x_o) + B(y - y_o) + C(z - z_o) = 0 .

    • Các trường hợp riêng

    Xét phương trình mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 với A² + B² + C² ≠ 0

    - Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O.

    - Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.

    - Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.

    - Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.

    - Nếu A = B = 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy).

    - Nếu A = C = 0, B ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz).

    - Nếu B = C = 0, A ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz).

    Chú ý:

    - Nếu trong phương trình (α) không chứa ẩn nào thì (α) song song hoặc chứa trục tương ứng.

    - Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (α): . Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) với abc ≠ 0.

III. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

    • Trong không gian Oxyz, cho điểm M_o(x_o; y_o; z_o) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0

    Khi đó khoảng cách từ điểm M_o đến mặt phẳng (α) được tính:

IV. Góc giữa hai mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 và (β): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

    Góc giữa (α) và (β) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n_α→, n_β→. Tức là:

** PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I. Phương trình đường thẳng:

    • Cho đường thẳng Δ đi qua điểm M_o(x_o; y_o; z_o) và nhận vectơ a→ = (a₁; a₂; a₃) với a₁² + a₂² + a₃² ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình tham số là :

    • Cho đường thẳng Δ đi qua điểm M_o(x_o; y_o; z_o) và nhận vectơ a→ = (a₁; a₂; a₃) sao cho a₁a₂a₃ ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình chính tắc là :

II. Góc:

1. Góc giữa hai đường thẳng:

    Δ₁ có vectơ chỉ phương a₁→

    Δ₂ có vectơ chỉ phương a₂→

    Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂. Ta có:

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

    Δ có vectơ chỉ phương a_Δ→

    (α) có vectơ chỉ phương n_α→

    Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng Δ và α. Ta có:

III. Khoảng cách:

1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ:

    Δ đi qua điểm M_o và có vectơ chỉ phương a_Δ→

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

    Δ₁ đi qua điểm M và có vectơ chỉ phươnga₁→

    Δ₂ đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương a₂→