Các bài toán về tiếp tuyến của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x⁴ + (1/2)mx² + m - 1 có đồ thị (C). Biết tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 vuông góc với đường thẳng có phương trình x - 3y + 1 = 0. Tìm m.

Hướng dẫn giải:

   - Ta có y' = 4x³ + mx

   - Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là -1 là y'(-1)=-4 - m

   - Hệ số góc của đường thẳng x - 3y + 1 = 0 hay y = (1/3)x + 1/3 là 1/3

   - Vì tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 vuông góc với đường thẳng có phương trình x - 3y + 1 = 0 nên (-4 - m).(1/3) = -1 ⇔ -4 - m = 3 ⇔ m = -1

Ví dụ 2: Cho y = (3 - 2x)/(x + 1) (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua hai điểm A(-7;6) và B(-3;10).

Hướng dẫn giải:

   Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x_o (x_o ≠ -1) là:

   Δ: y = y' (x_o )(x - x_o ) + y(x_o ) ⇒ Δ:y = - 5/(x_o + 1)² (x - x_o ) + (3 - 2x_o )/(x_o + 1)

   ⇒ Δ: 5x + (x_o + 1)² y + 2x_o² - 6x_o - 3 = 0

    Vì Δ cách đều các điểm A và B nênc

   d(A; Δ) = d(B; Δ)

   Vậy các tiếp tuyến cách đều A và B là y = (-5/4)x + 7/4 và y = -5x - 17

Ví dụ 3: Tìm m để (C_m): y = x³ + 3x² + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E sao cho các tiếp tuyến với (C_m) tại D và E vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

   Phương trình hoành độ giao điểm x³ + 3x² + mx + 1 = 1 ⇔ x³ + 3x² + mx = 0

   ⇔ x(x² + 3x + m) = 0 ⇔ 

   Để (C_m): y = x³ + 3x² + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0

   Gọi x₁, x₂là hai nghiệmcủa phương trình (*) khi đó tọa độ của D và E lần lượt có dạng D(x₁; 1); E(x₂; 1) thỏa mãn hệ thức Vi ét 

   Ta có y' = 3x² + 6x + m

   Vì các tiếp tuyến với (C_m) tại D và E vuông góc với nhau nên ta có:

   y'(x₁ ).y'(x₂)=-1⇔ (3x₁² + 6x₁ + m)(3x₂² + 6x₂ + m) = -1

   ⇔ 9(x₁ x₂)² + 18x₁x₂(x₁ + x₂) + 3m[(x₁ + x₂)² - 2x₁x₂] + 36x₁x₂ + 6m(x₁ + x₂) + m² = -1

   ⇔ 9m² -54m + 3m(9 - 2m) + 36m - 18m + m² = -1

   ⇔ 4m² -9m + 1 = 0 ⇔ 

   Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = (9 + √65)/8 và m = (9 - √65)/8

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số y = 4x₂ + 3mx + 6 (C). Tìm m để (C) có tiếp tuyến đi qua điểm A(1; -2).

Bài 2: Cho hàm số y = 3x³ + 3mx₂ + (2m + 1)x + 1. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 đi qua điểm A(2; 2).

Bài 3: Cho y = (1/3)x³ - mx₂ - x + m - 1 (C). Tìm m để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là -10. Viết phương trình các tiếp tuyến đó.

Bài 4: Cho y = (1/3)x³ - m/2 x₂ + (1/3)(C_m). Gọi M là điểm thuộc (C_m) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến tại M của (C_m) song song với đường thẳng d: 5x - y = 0.

Bài 5: Cho y = mx⁴ + (3m + 1/24)x₂ + 2 (C_m). Gọi A và B lần lượt là các điểm có hoành độ bằng -1 và 2 của (C_m). Tìm m để các tiếp tuyến của (C_m) tại A và B vuông góc với nhau.

Bài 6: Cho y = (1 - x)/(2x + 1) (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cách I(-1/2; -1/2) một khoảng bằng 3/√10.

Bài 7: Tìm m để (C_m):y = x³ /3 - 1/2(m + 2)x₂ + 2mx + 1 tiếp xúc với đường thẳng y = 1

Bài 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x³ - 6x₂ + 9x - 2 tại điểm M, biết M cùng hai điểm cực trị của (C) tạo thành tam giác có diện tích bằng 6.