Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng

A. Phương pháp giải

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M

=> Tọa độ của M( ..) ( theo tham số t; dựa vào phương trình đường thẳng d) .

=> Đường thẳng Δ nhận vecto  ( ....) làm vecto chỉ phương.

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→

+ Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng ( P) nên ta có:

n→ .u→ = 0 => Phương trình ẩn t

=> t=...=> tọa độ điểm M

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; 2; -1 ) và đường thẳng  . Phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt d và song song với mặt phẳng (Q): x+ y- z+ 3= 0 là:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm

+ Gọi giao điểm của hai đường thẳng d và Δ là B .

Do B thuộc d nên B( 3+ t; 3+ 3t; 2t)=> 

+ Mặt phẳng ( Q) có vectơ pháp tuyến 

+ Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng ( Q) nên : 

=>>  ⇔ 1( 2+ t)+ 1( 1+ 3t)- 1( 2t+ 1) = 0 ⇔ 2+ t+1+ 3t – 2t- 1= 0 ⇔ 2t + 2= 0 ⇔ t= - 1

+ Đường thẳng Δ đi qua A( 1; 2; -1) và nhận vecto  làm vecto chỉ phương nên phương trình của Δ là: 

Chọn A.

Ví dụ 2. Cho hai điểm A( 1;1;0) và B( 2; -1; 2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;0;0) cắt đường thẳng AB và song song với mặt phẳng (P): 2x+ y+ z- 1= 0.

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1;0); nhận vecto  làm vecto chỉ phương

=> Phương trình AB: 

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và AB là H(1+ t; 1-2t;2t)

+ đường thẳng d nhận vecto  làm vecto chỉ phương

.

+ Mặt phẳng (P) nhận vecto  làm vecto pháp tuyến.

+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên

 ⇔ 2t+ 1= 0 ⇔ t= 1/2 => H(3/2;0;1)

+ Đường thẳng d đi qua M( 1; 0;0) và nhận vecto  làm vecto chỉ phương; chọn vecto ( 1; 0; 2)

=> Phương trình đường thẳng d: 

Chọn D.

Ví dụ 3. Cho đường thẳng  ; ba điểm A(1;1;1); B( -2; 1; -1) và C( 1; 0;2). Viết phương trình đường thẳng Δ qua O cắt d và song song với mặt phẳng (ABC)

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Ta có: (AB) ⃗( -3;0;-2); (BC) ⃗(3; -1;3)

Mặt phẳng (ABC) nhận vecto  làm vecto pháp tuyến.

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M( 1-t; 2t; 2+ t)

Đường thẳng Δ nhận vecto  làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (ABC) nên: n→ .OM→=0

⇔ -2(1- t) + 3.2t + 3.( 2+ t) = 0 ⇔ - 2+ 2t+ 6t+ 6+ 3t = 0

⇔ 11t+ 4= 0 ⇔ t= (- 4)/11

+ đường thẳng OM: qua O nhận vecto  làm vecto chỉ phương chọn (15; - 8;18)

=> Phương trình OM:

Chọn B.

Ví dụ 4. Cho đường thẳng  và mặt phẳng (P): 2x- 3y- 1= 0. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M( -2; 1; 3) cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P).

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến  .

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là A( 1+2t; - 2+ t;1- t).

+ Đường thẳng Δ nhận vecto  làm vecto chỉ phương.

Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng (P) nên: (MA→ .n→=0 ⇔ 2( 3+ 2t) – 3( - 3+ t) + 0( - 2- t) = 0 ⇔ 6+ 4t+ 9 – 3t = 0 ⇔ t= -15

+ Đường thẳng Δ: đi qua M( -2; 1; 3) và nhận vecto  làm vecto chỉ phương nên phương trình Δ: 

Chọn A.

Ví dụ 5. Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng  và song song với  . Đường thẳng d có phương trình:  . Gọi đường thẳng Δ đi qua M( 0; -1; 1); cắt d và song song với (P). Tìm giao điểm của đường thẳng d và Δ?

A. ( - 4; 2; -6)

B. (1; 2; - 1)

C. ( 0; 2; - 2)

D. (6; 2; 4)

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương  và đi qua A(-1; 2; 2)

+ Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương 

=> Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến  .

+ Gọi giao điểm của d và Δ là H( 3- t; 2; 1- t )

Đường thẳng Δ nhận vecto  làm vecto chỉ phương.

+ Do đường thẳng Δ song song với (P) nên:n→ .MH→=0 ⇔ 4(3- t)+ 3. 3 – 1( -t) = 0 ⇔ 12- 4t +9 + t= 0 ⇔ 21- 3t= 0 ⇔t= 7

=> Giao điểm của đường thẳng d và Δ là H( - 4; 2; - 6)

Chọn A.

Ví dụ 6. Cho điểm A( -2; 1; 3) và mặt phẳng (P): 2x+2y+ z+ 10= 0. Viết phương trình đường thẳng d qua M( -1; -1; 0) cắt đường thẳng OA và song song với (P)?

A. 

B. 

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng OA: qua O(0; 0;0) và nhận vecto  làm vecto chỉ phương

=> Phương trình OA: 

+ Gọi giao điểm của đường thẳng OA và d là H( -2t; t; 3t)

Đường thẳng d nhận vecto  làm vecto chỉ phương.

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến 

+ Do đường thẳng d song song với (P) nên: MH→ .n→=0 ⇔ 2( 1- 2t) +2( t+1) +1.3t= 0 ⇔ 2- 4t+2t+ 2+ 3t = 0 ⇔ t +4= 0 ⇔ t= -4

+ Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình d: 

Chọn C