Cách viết số phức dưới dạng lượng giác

Dạng 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác

1. Phương pháp giải

*Định nghĩa: Cho số phức z ≠ 0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.

* Cho số phức z = a+ bi, (a,b ∈ R) Để viết số phức z dưới dạng lượng giác ta làm như sau:

+ Tìm một acgumen của số phức z là φ

+ Tính môđun của số phức z: |z| = r =  .

+ Khi đó, ta có z = r.(cosφ + i.sinφ)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết số phức z = 6 + 6i dưới dạng lượng giác?

A. z = 6√2(cos + i.sin )

B. z = 6(cos + i.sin )

C. z = 3√2(cos + i.sin )

D. z = 3√2(cos + i.sin )

Hướng dẫn:

Ta có: |z| = r =  = 6√2

Chọn φ là số thực thoả mãn 
⇒ φ =  .

Do đó, dạng lượng giác của số phức z là:
z = 6√2(cos + i.sin )

Chọn A.

Ví dụ 2: Viết số 10 dưới dạng lượng giác?

A. 10.(cosπ + isinπ)

B. 10.(cos 0 + i.sin0)

C. 10√2(cos + i.sin )

D. 10√2(cos + i.sin )

Hướng dẫn:

Ta có: Số 10 có mô dun là 10 và có một acgumen bằng 0 nên nó có dạng lượng giác là:

10.(cos0 + i.sin0).

Chọn B.

Dạng 2: Nhân, chia số phức dạng lượng giác

1. Phương pháp giải

Nếu z = r.(cosφ + i.sinφ) và
z' = r'.(cosφ' + i.sinφ'); (r ≥ 0; r' ≤ 0)

Thì

z.z' = r.r'[cos(φ + φ') + i.sin(φ + φ')]

 =  .[cos(φ' - φ) + i.sin(φ' - φ)]; (r > 0)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = (1 - i√3).(1 + i)

A. z = 2√2[cos(-  ) + i.sin(-  )]

B. z = 2[cos(-  ) + i.sin(-  )]

C. z =  [cos(-  ) + i.sin(-  )]

D. Đáp án khác

Hướng dẫn:

Ta có:

1 - i√3 = 2.[cos(-  ) + isin(-  )]

1 + i = √2[cos + i.sin ]

Áp dụng công thức nhân, chia số phức ta đuợc:

z = (1 - i√3)(1 + i)
= 2√2[cos(-  ) + i.sin(-  )]

Chọn A.

Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = 

A. 2[cos-  + i.sin-  ]

B. 2√2[cos + i.sin ]

C. √2[cos-  + i.sin-  ]

D.  [cos + i.sin ]

Hướng dẫn:

Ta có: 2 + 2i = 2√2[cos + i.sin ]

Và 1 + √3i = 2.[cos + i.sin ]

Do đó: z = 
= 
= √2[cos-  + i.sin-  ]

Chọn C.

Dạng 3: Công thức Moa-vro

1. Phương pháp giải

* Công thức Moa- vro

Cho số nguyên dương n ta có;

[r(cosφ + i.sinφ)]ⁿ = rⁿ(cos(nφ) + i.sin(nφ))

Khi r = 1 ta có:
(cosφ + i.sinφ)ⁿ = cos(nφ) + i.sin(nφ)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: z = (√2 + √2i)¹⁰

A. 2⁵(cos + i.sin )

B. 2¹⁰(cos + i.sin ) .

C. 2⁵(cos(-  ) + i.sin(-  ) )

D. 2¹⁰(cos + i.sin )

Hướng dẫn:

Ta có: √2 + √2i = 2.(cos + i.sin )

Do đó,

z = (√2 + √2i)¹⁰ = [2.(cos + i.sin )]¹⁰

= 2¹⁰(cos + i.sin )

= 2¹⁰.(cos + i.sin )

Chọn D.

Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = 

A.  (cos(-4π) + i.sin(-4π))

B.  (cos(-3π) + i.sin(-3π))

C.  (cos(2π) + i.sin(2π))

D.  (cos(-4π) - i.sin(-4π))

Hướng dẫn:

* Ta có:

1 - i = √2(cos(-  ) + i.sin(-  ))

⇒ (1 - i)¹⁰
= √2¹⁰.[cos(-10. ) + i.sin(-10. )]

= 2⁵[cos(-  ) + i.sin(-  )]

* Lại có:

√3 + i = 2(cos + i.sin )

⇒ (√3 + i)⁹ = 2⁹.(cos9. + i.sin9. )
= 2⁹.(cos + i.sin )

* Do đó,

z = 
= 
=  (cos(-4π) + i.sin(-4π))

Chọn A.

Dạng 4: Ứng dụng công thức Moa- vro

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình:
z⁵ + z⁴ + z³ + z² + z + 1 = 0?

A. z = -1; z =  +  i ; z = -  -  i ;
z =  -  i ; z = -  +  i .

B. z = -1; z = 1 +  i ; z = - 1 -  i ; z =  -  i ; z = -  +  i .

C. z = -1; z =  +  i ; z = -  -  i ;
z =  - √3i ; z = -  + √3i.

D. z = -1; z = 1 + √3i ; z = -  -  i ; z = 1 - √3i ;
z = -  +  i .

Hướng dẫn:

Ta có: z⁵ + z⁴ + z³ + z² + z + 1 = 0

⇔ z⁴.(z + 1) + z².(z + 1) + (z+ 1) = 0

⇔ ( z+1).(z⁴ + z² + 1) = 0

⇔ 

Xét phương trình: z⁴ + z² + 1 = 0 (*)

Đặt t = z², khi đó phương trình (*) trở thành: t² + t + 1 = 0 (**)

Có ∆ = 1² – 4.1.1 = - 3.

Khi đó, (**) có hai nghiệm phức là:
t =  ⇒ z² = 

⇔ 

Từ z² = cos + isin
⇒ 

Từ z² = cos(-  ) + isin(-  )
⇒ 

Vậy phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm:

z = -1; z =  +  i ; z = -  -  i ;
z =  -  i ; z = -  +  i .

Chọn A.

Ví dụ 2: Giải phương trình z⁶ + 64= 0 ?

A. √3 ± 2i; ±2i; -√3 ± i

B. √3 ± i; ±2i; -√3 ± i

C. √3 ± i; ±2i; -√3 ± 2i

D. 1 ± √3; ±2i; 1 ± √3

Hướng dẫn:

Ta có: : z⁶ + 64 = 0 ⇔ z⁶ = - 64.

+ Giả sử z = x + yi = r(cosφ + isinφ);
(x,y ∈ R)

⇒ z⁶ = r⁶.(cos6φ + isin6φ) (1)

+ Ta có: -64 = 64(cosπ + isinπ) và z⁶ = -64 (2)

Từ (1), (2)
⇒ r⁶(cos6φ + isin6φ)= 64(cosπ + isinπ)
⇒ r⁶ = 64 ⇒ r = 2( vì r > 0).

Và cos6φ + isin6φ = cosπ + isinπ
⇒ 6φ = π +2kπ (k ∈ Z)

⇒ φ =  + 2k

Với k = 0 ⇒ z₁ = 2(cos + isin ) = √3 + i

Với k = -1
⇒ z₂ = 2(cos(-  ) + isin(-  )) = √3 - i

Với k = 1 ⇒ z₃ = 2(cos + isin ) = 2i

Với k = -2
⇒ z₄ = 2(cos(-  ) + isin(-  )) = -2i

Với k = -3
⇒ z₅ = 2(cos(-  ) + isin(-  )) = - √3 - i

Với k = 4
⇒ z₆ = 2(cos + isin ) = - √3 + i

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm là: √3 ± i; ±2i; -√3 ± i

Chọn B ..