Viết phương trình mặt phẳng P song song và cách mặt phẳng Q một khoảng k

Phương pháp giải

1. Trên mặt phẳng (Q) chọn một điểm M

2. Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D' =0 (D'≠D).

3. Sử dụng công thức khoảng cách d((P),(Q)) =d(M,(Q)) =k để tìm D’.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): x+2y-2z+1=0 và cách (Q) một khoảng bằng 3.

Hướng dẫn:

Trên mặt phẳng (Q) chọn điểm M (-1; 0;0)

Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x +2y -2z +D =0 (D≠1).

Vì khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) bằng 3 nên ta có:

d(M;(Q))=3 ⇔ =3

⇔ |-1+D|=9 ⇔ 

Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài là

x +2y -2z +10 =0

x +2y -2z -8 =0

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): 2x+3y-z+3=0 và cách (P) một khoảng bằng √14

Hướng dẫn:

Trên mặt phẳng (Q) chọn điểm M (0; -1;0)

Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 2x +3y -z +D =0 (D≠3).

Vì khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) bằng √14 nên ta có:

d(M;(Q))=√14 ⇔ =√14

⇔ |-3 +D|=14 ⇔ 

Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài là

x +2y -2z +14 =0

x +2y -2z -11 =0

Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Oxy và cách mặt phẳng Oxy một khoảng bằng 5.

Hướng dẫn:

Điêm O(0; 0; 0) thuộc mặt phẳng Oxy.

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Oxy nên mặt phẳng (P) có dạng:

z+D=0 (D≠0)

Do khoảng cách từ mặt phẳng (P) đến mặt phẳng Oxy bằng 5 nên ta có:

d(M;(Q))=5 ⇔ |D|/√(1²)=5

⇔ |D|=5 ⇔ 

Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài là

z +5 =0

z -5 =0