Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức

Dạng 1: Cho số phức z thỏa mãn |z - (a + bi)| = c, (c > 0), tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P với P = |z|

1. PHƯƠNG PHÁP

|z - (a + bi)| = c, (c > 0) => Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R = c

Biểu diễn P là 1 điểm M nào đó, dựa vào hình vẽ xác định max min cho thích hợp.

Ví dụ P = |z| tức là đường tròn tâm O:

Ví dụ P = |z + i| tức là đường tròn tâm H (0;-1)

2. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho |z - 4 + 3i| = 3. Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức: |z - a - bi| = c ⇔ |z - (a + bi)| = c => -c + |a + bi| ≤ |z| ≤ c + |a + bi|

Ta có: |z - 4 + 3i| = 3 ⇔ |z - (4 - 3i)| = 3 ⇔ - 3 + |4 - 3i| ≤ |z| ≤ 3 + |4 - 3i| ⇔ 2 ≤ |z| ≤ 8

Cách tìm số phức:

+ Tìm Số phức z có module nhỏ nhất là:

+ Tương tự: Số phức z có module lớn nhất là:

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa |z - 5i| ≤ 3. Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu?

A. 0.    B. 3.    C. 2.    D. 4.

Hướng dẫn:

Gọi M(x ;y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi.

Gọi E(0 ;5) là điểm biểu diễn số phức 5i

Ta có: |z - 5i| ≤ 3 => MA ≤ 3. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm A(0 ;5) ; R = 3 như hình vẽ

Số phức z có môđun nhỏ nhất nhỏ nhất.Dựa vào hình vẽ, ta thấy z = 2i. Suy ra phần ảo bằng 2

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của |z| biết:

A. √2     B. 2    C. 1    D. 3

Hướng dẫn:

Ta có:

Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn |z² - i| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của |z|.

A. 2    B. √2    C. 2√2    D. √2

Hướng dẫn:

Ta có:

1 ≥ |z²| - |i| = |z|² - 1 => |z|² ≤ 2 => |z| ≤ 2

Chọn đáp án là D

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.

Hướng dẫn:

Ta có:

|x + yi + i + 1| = |x - yi - 2i|

⇔ (x + 1)² + (y + 1)² = x² + (y + 2)²

⇔ 2x - 2y - 2 = 0 => x = 1 + y

Chọn đáp án A.