Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp chi tiết
Với Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp Toán lớp 12 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải chi tiết giúp học sinh biết Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp.
Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp
1. Phương pháp giải
a. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
+ Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (d là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
+ Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên (hoặc trục Δ của của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên).
+ Giao điểm I của (P) và d (hoặc của Δ và d ) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
+ Kết luận: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.
Nhận xét: Hình chóp có đáy hoặc các mặt bên là các đa giác không nội tiếp được đường tròn thì hình chóp đó không nội tiếp được mặt cầu.
b. Mặt cầu nội tiếp hình chóp.
*Điều kiện tồn tại mặt cầu nội tiếp được khối chóp: Nếu trên đáy của một hình chóp tồn tại một điểm cách đều tất cả các mặt xung quanh của hình chóp thì hình chóp đó có một hình cầu nội tiếp.
*Cách xác định tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp có hình chiếu vuông góc của đỉnh trùng với điểm ở đáy mà cách đều tất cả các mặt bên:
- Xác định được điểm O cách đều trên đáy.
- Nối đỉnh hình chóp với O bằng một đoạn thẳng.
- Dựng mặt phẳng phân giác của một góc nhị diện nào đó ở đáy. Giao điểm của mặt phẳng phân giác với đường thẳng trên là tâm hình cầu nội tiếp cần tìm.
*Nếu đặt V là thể tích khối chóp và Stp là tổng diện tích mặt đáy và các mặt bên của chóp (diện tích toàn phần) thì bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC= 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. a B. 2a C. a√2 . D. 
Hướng dẫn giải:
▪ Ta có: 
⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB .
▪ Chứng minh tương tự ta được CD ⊥ SD .
▪ SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AC .
Suy ra: Ba điểm A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông.
Vậy bán kính mặt cầu là R = SC/2 = a .
Chọn A.
Ví dụ 2. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S. ABC, biết các cạnh đáy có độ dài bằng a, cạnh bên SA = a√3 .
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải:
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC.
+ Ta có SO ⊥ (ABC) nên SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
+ Gọi N là trung điểm của SA, trong mp(SAO) kẻ trung trực của SA cắt SO tại I thì IS= IA= IB= IC nên I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC. Bán kính mặt cầu là R= SI.
+ Vì hai tam giác SNI và SOA đồng dạng nên ta có 
Suy ra R = SI = 
Mà AO = 
,
SO = 
Nên R = SI =
Chọn D.
