Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng

A. Phương pháp giải

- Tìm giao điểm A = d₁ ∩ (P); B = d₂ ∩ (P)

- d là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng 

A.

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

- Giao điểm A của d₁ và (P) có tọa độ (1 – t; t; 4t)

Thay vào phương trình mặt phẳng (P) có: t + 2. 4t = 0 ⇔ t = 0 => A (1; 0; 0)

- Giao điểm B của d₂ và (P) có tọa độ ( 2 – t’; 4 + 2t’; 4)

Thay vào phương trình mặt phẳng (P) có: (4 + 2t’) + 2.4 = 0 ⇔ t = - 6 => B (8; -8; 4)

- Ta có: 

Vậy phương trình của d là : 

Chọn B.

Ví dụ 2: Viết phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): x – y – 2z + 3 = 0 và cắt hai đường thẳng 

A.

B. 

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

- Giao điểm A của d₁ và (P) có tọa độ (2t-1;-t+1;t+1)

Thay tọa độ A vào phương trình (P) có:

(2t-1)-( -t+1)-2(t+1)+3 = 0 ⇔ 2t- 1 + t – 1- 2t- 2+ 3= 0

⇔ t- 1= 0 nên t=1 => A (1; 0; 2)

- Giao điểm B của d₂ và (P) có tọa độ (t+1;t+2;2t-1)

Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) Có: (t+1)-(t+2)-2(2t-1)+3 = 0 ⇔-4t+4=0 nên t=1 => B (2; 3; 1)

-Ta có 

Vậy phương trình của d là :

Chọn A

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng  . Đường thẳng d nằm trong (P): x+2y- 3z – 2= 0 và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ lần lượt tại A và B. Tính AB?

A. 8

B.

C. 

D.

Hướng dẫn giải

+ Gọi A là giao điểm của d₁ và( P)

Tọa độ A( 2- t; 1+ 3t; 1+ 2t). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P) ta được: 2- t + 2( 1+ 3t) – 3( 1+ 2t) = 0 ⇔ 2- t + 2+ 6t – 3 – 6t= 0 ⇔ - t + 1= 0 ⇔ t= 1 nên A( 1; 4; 3)

+ Gọi B là giao điểm của d₂ và( P)

Tọa độ B( 1-3t; - 2+ t; - 1- t). Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) ta được:

1- 3t + 2( - 2+ t) – 3( - 1- t) - 2 = 0

⇔ 1- 3t – 4 + 2t + 3+ 3t – 2= 0

⇔ 2t – 2= 0 ⇔ t= 1 nên B ( -2; - 1; -2)

=> 

Chọn D.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng  ; và mặt phẳng (P): x- y - 2z + 3= 0. Biết đường thẳng Δ nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ . Phương trình Δ là

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

Gọi A; B lần lượt là giao điểm của Δ với d₁; d₂

Do Δ⊂(P)⇒A,B cũng chính là giao điểm của (P) với

Khi đó :

Suy ra phương trình 

Chọn A.

Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng  . Đường thẳng d nằm trong (P): x+2y- z + 1= 0 và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ . Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A.(9;-8; -7)

B. ( 9; 1; 4)

C. ( 6; 9; -2)

D. (-2; 1; -2)

Hướng dẫn giải

+ Gọi A là giao điểm của d₁ và( P)

Tọa độ A( 2t; 3; 1- t). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P) ta được: 2t + 2.3 – ( 1- t) + 1= 0 ⇔ 3t + 6= 0 ⇔ t= - 2 nên A( - 4; 3; 3)

+ Gọi B là giao điểm của d₂ và( P)

Tọa độ B( 1- t; -2+ 2t; - t). Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) ta được:

1- t + 2( - 2+ 2t) + t + 1= 0

⇔ 4t - 2= 0 ⇔ t= 1/2

=> 

+ Đường thẳng d nhận vecto  làm vecto chỉ phương

Chọn A.

Ví dụ 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm M( 1; 2; 1); N( 0;1; 2) và đường thẳng  . Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P): x- 2y+ z = 0 cắt đường thẳng d và MN?

A. 

B. 

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Phương trình đường thẳng MN:

Đường thẳng MN đi qua M( 1; 2; 1) và có vecto chỉ phương  nên có phương trình: 

+ Gọi A là giao điểm của d và( P)

Tọa độ A(- 1+ 2t; - 2t; 1+ t). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P) ta được: - 1+ 2t – 2( - 2t)+ 1+ t = 0 ⇔ 7t = 0 ⇔ t= 0 nên A( -1; 0; 1)

+ Gọi B là giao điểm của MN và( P)

Tọa độ B( 1-t; 2- t; 1+ t). Thay tọa độ điểm B vào phương trình (P) ta được:

1- t – 2( 2- t) + 1+ t= 0 ⇔ 2t – 2= 0

⇔ t= 1 nên B( 0; 1; 2)

+ Đường thẳng Δ chính là đường thẳng AB: đi qua A( -1; 0;1) và nhận vecto  làm vecto chỉ phương nên phương trình Δ:

Chọn A.

Ví dụ 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho các điểm A( 1; 1;1); B(0;1; 2); C( 2; 1; 2). Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): x+ y- 2z- 3= 0 đồng thời cắt hai đường thẳng AB và OC?

A. 

B. 

C. 

D. Không có phương trình chính tắc

Hướng dẫn giải

+ Phương trình đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1; 1) vecto chỉ phương 

=> Phương trình AB: 

+ gọi giao điểm của AB và mặt phẳng (P) là M( 1-t; 1; 1+ t) thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: 1- t + 1- 2( 1+ t) – 3= 0 ⇔ 1- t + 1- 2- 2t- 3= 0 ⇔ - 3t – 3= 0 ⇔ t= -1

Suy ra M( 2; 1; 0).

+ Phương trình đường thẳng OC : đi qua O(0; 0;0) và có vecto chỉ phương  nên phương trình OC là: 

+ gọi giao điểm của OC và ( P) là N( 2t; t; 2t) thay vào phương trình (P) ta được : 2t + t – 2.2t – 3= 0 ⇔ - t- 3= 0 ⇔ t= - 3 nên N( -6; -3; - 6)

+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng MN đi qua M( 2; 1; 0) và nhận vecto  làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d là: 

Chọn A.

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; 2; 4); B(-3; -2; 2) và C( 1; -2; -1). Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): - 2x+ y+z-5= 0 đồng thời cắt đường thẳng AB và CO tại M và N . Tìm tọa độ vecto  ?

A. ( 1; 2; - 3)

B. ( 0; 2; -2)

C. (0; -2; 2)

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Viết phương trình đường thẳng AB: đi qua A( 1; 2; 4) và nhận vecto  làm vecto chỉ phương

=> Phương trình AB: 

Gọi giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là M( 1+ 2t; 2+ 2t; 4+t).

Thay tọa độ điểm M vào phương trình ( P) ta được :

- 2( 1+ 2t) + 2+ 2t+ 4+ t – 5= 0

⇔ - 2- 4t + 2+ 2t +4+ t- 5= 0

⇔ - t – 1= 0 ⇔ t= -1 nên M( - 1; 0; 3) .

+ Viết phương trình đường thẳng OC: đi qua O(0; 0; 0) và nhận vecto  làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng OC: 

Gọi giao điểm của đường thẳng OC và (P) là N( t; - 2t; - t) thay vào phương trình (P) ta được : - 2t+ (-2t)+ (-t) – 5= 0 ⇔ - 5t – 5= 0 ⇔ t= - 1 nên N( -1; 2; 1)

=> 

Chọn B.