Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng

A. Phương pháp giải

+ Gọi u_d→ ; u_d1→  và  u_d2→ lần lượt là vecto chỉ phương của đườg thẳng d; d₁ và d₂

+ Do đường thẳng d vuông góc với cả hai đường thẳng d₁ và d₂ nên:

+ Mà d₁ và d₂ chéo nhau

=>Véc tơ chỉ phương của d là 

Sau đó, áp dụng định nghĩa phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (2; -1; 1) và vuông góc với hai đường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương là 

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Do đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng lần lượt có vecto chỉ phương là u₁→ ; u₂→ nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là 

d đi qua điểm A (2; -1; 1)

Vậy phương trình đường thẳng d là 

Chọn A.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (1; 2; 3) và vuông góc với hai đường thẳng 

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d1; d2 lần lượt là:

+ Do đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng lần lượt có vecto chỉ phương là u₁→ ; u₂→  nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là 

 hay chọn vectơ chỉ phương là (-1; -1; 1)

Mà d đi qua điểm A (1; 2; 3) nên phương trình đường thẳng d là 

Chọn C

Ví dụ 3 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz : cho hai điểm A(1 ;-1 ;1) ; B(-1 ; 2 ; 3) và đường thẳng  . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, đồng thời vuông góc với hai đường thẳn AB và Δ là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Ta có: 

Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương 

Do đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng AB và Δ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:  chọn vecto ( 7;2; 4)

Vậy phương trình chính tắc của d là: 

Chọn B.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng  . Phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A(0;2; 0) và vuông góc với hai đường thẳng d₁; d₂ là

A. 

B. 

C. 

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương 

Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương 

Do đường thẳng Δ vuông góc với hai đường thẳng d₁; d₂ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ là:

Vậy phương trình tham số của Δ là:

Chọn C.

Ví dụ 5:= Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  . Phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A(1;1;3) vuông góc với trục Oz và d là

A.

B.

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đường thẳng Oz có vectơ chỉ phương 

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương 

Do đường thẳng Δ vuông góc với trục Oz và d nên một vecto chỉ phương của Δ là:

 .

Đường thẳng Δ đi qua điểm A(1;1; 3) và có vectơ chỉ phương là ( 1; -1;0)

Vậy phương trình của Δ là: 

Chọn A.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  và điểm A( -1; 2; 3). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M( 0; 2; 3) vuông góc với đường thẳng d và đường thẳng OA?,

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương 

Đường thẳng OA đi nhận vecto  làm vecto chỉ phương.

+ Do đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d và OA nên đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là: 

=> Phương trình đường thẳng Δ là: 

Chọn C.

Ví dụ 7: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz; cho bốn điểm A( 1; 2; 3); B( -2; 1;3); C( 0; 1; 2) và D( -1; -1; 1). Đường thẳng d đi qua M( -1; 2; -4) đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng AB và CD. Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng :  . Tính a+ b?

A. 2

B. – 3

C. 1

D. - 4

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là:

+ Đường thẳng CD có vecto chỉ phương là:

+ Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AB và CD nên đường thẳng d có một vecto chỉ phương là:

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là : .

=> a= -3 và b= 5 nên a+ b= 2

Chọn A.