Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng

A. Phương pháp giải

Cách 1:

- Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d’ và chứa d₁

- Viết phương trinh mặt phẳng (Q) song song với d’ và chứa d₂

- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)

Cách 2:

M = d ∩ d₁; N = d ∩ d₂

Vì d // d’ nên  và  cùng phương hay

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Viết phương trình của đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁, d₂ và song song với d₃ biết:

A. 

B. 

C.

D. 

Hướng dẫn giải

+ Vecto chỉ phương của ba đường thẳng d₁, d₂ và song song với d₃ lần lượt là

- Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d₃

Ta có vectơ pháp tuyến của (P) là

=> 

Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của (P) là 

Một điểm thuộc d₁ là điểm thuộc (P) là : (2; -2; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) là: 1.(x – 2) – 1.(y + 2) + 1. (z – 1) = 0 hay x – y + z – 5 = 0

- Mặt phẳng (Q) chứa d₂ và song song với d₃

Ta có vectơ pháp tuyến của (Q) là

=> 

Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của (Q) là

Một điểm thuộc d₂ là điểm thuộc (Q) là : (7; 3; 9)

Phương trình mặt phẳng (Q) là: 0.(x – 7) + 1.(y – 3) + 2. (z – 9) = 0 hay y + 2z – 21 = 0

- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q) nên

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt z = t, ta có: 

Vậy phương trình tham số của d là:

Chọn A.

Ví dụ: 2

Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Ox và cắt hai đường thẳng

A. 

B.

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d₁ và d₂ có vecto chỉ phương là : 

Trục Ox có vecto chi phương 

- Mặt phẳng (P) chứa d₁ và song song với Ox

Ta có vectơ pháp tuyến của (P) là

=> 

Một điểm thuộc d₁ là điểm thuộc (P) là : (0; 0; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) là: 0.(x – 0) + 3.(y – 0) – 2 . (z – 1) = 0 hay 3y – 2z + 2 = 0

- Mặt phẳng (Q) chứa d₂ và song song với Ox

Ta có vectơ pháp tuyến của (Q) là

=> 

Một điểm thuộc d₂ là 1 điểm thuộc (Q) là : (2; -1; -1)

Phương trình mặt phẳng (Q) là: 0.(x – 2) + 2.(y + 1) – 3 . (z + 1) = 0 hay 2y – 3z – 1 = 0

- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q) nên

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy phương trình tham số của d là:

Cách 2:

M = d ∩ d1 => M (t; 2t; 1+ 3t)

N = d ∩ d2 => N (2-t’; -1+3t’; -1+2t’)

Ox có 1 vectơ chỉ phương là  cùng phương với 

=>

=>

d//Ox nên 

Vậy phương trình của d là:

Chọn C.

Ví dụ: 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng  . Phương trình đường thẳng song song với d:  và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ là:

A .

B. 

C.

D. 

Hướng dẫn giải

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm

Gọi giao điểm của Δ với d₁ và d₂ lần lượt là A và B.

Do A thuộc d1 nên tọa độ A (- 1+ 3a; 2+ a; 1+ 2a)

Do B thuộc d2 nên tọa độ B ( 1+ b; 2b; - 1+ 3b)

Vecto  là một vecto chỉ phương của Δ.

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương  .

+ Do đường thẳng d//Δ nên haii vecto  cùng phương

=> có một số k thỏa mãn 

=> Tọa độ A( 2; 3; 3) và B(2; 2; 2)

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A( 2; 3; 3) và có vectơ chỉ phương 

Vậy phương trình của Δ là: 

Chọn D.

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng  . Cho hai điểm M( 1;1;1 ) và N(0; -2 ; 3) . Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁ và d₂; song song với đường thẳng MN.

A. 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với 2 đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là A và B.

+ Điểm A thuộc d₁ nên A( a; 3- 2a; 1- a)

+ Điểm B thuộc d₂ nên B( 1- b;2+ 2b; - 2) .

=> Vecto  là một vecto chỉ phươn của đường thẳng d

+ Đường thẳng MN nhận vecto  làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d// MN nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng d là 

=> Hai vecto  cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

⇔ 

=> Tọa độ của 

Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto  làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d: 

Chọn B

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  . Viết phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng d₁ và trục Ox; song song trục Oz?

A.

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Trục Ox: đi qua O (0; 0; 0)và nhận vecto  làm vecto chỉ phương

=> phương trình trục Ox:  .

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng d₁ và trục Ox lần lượt là A và B.

+ Do A thuộc d₁ nên tọa độ A( 1+ a; - 3+ 3a; - 2a)

+ Do B thuộc trục Ox nên tọa độ B( b; 0; 0) .

=> Vecto  là một vecto chỉ phương của đường thẳng d

+ Trục Oz có vecto chỉ phương là: .

Lại có đường thẳng d// Oz nên đường thẳng d nhận vecto  làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto  cùng phương nên tồn tại số thực t khác 0 thỏa mãn: 

⇔ 

=> tọa độ A( 2;0; - 2) và B( 2; 0; 0 )

+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua A( 2; 0; -2) và có vecto chỉ phương là : 

=> Phương trình đường thẳng d: 

Chọn A.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  ; cho hai điểm A( 1; 0; -2) và B( -1; 2; 4). Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và AB; song song với đường thẳng OM trong đó M là trung điểm AB. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và d₁

A. 

B. 

C. 

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M( 0; 1;1) .

+ Đường thẳng AB đi qua A (1; 0; -2) và nhận vecto  làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng AB:

+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d₁ và AB lần lượt là H và K

+ Do H thuộc d₁ nên H ( - a; - 1+ 2a; 3+ a)

+ Do K thuộc AB nên K( 1- b; b; - 2+ 3b)

Đường thẳng d nhận vecto  làm vecto chỉ phương

+ Lại có d song song với OM nên d cũng nhận vecto  làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto  cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

=> Tọa độ 

Chọn C.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  và cho hai điểm A(-1; 2; 1); B( 1; 0; 1). Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁ và AB; song song với trục Oy. Trong các điểm sau điểm nào thuộc đường thẳng d?

A. ( -1; 2; 0)

B. (0; -2; - 3)

C. (2; 3; 1)

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB: Đi qua A( -1; 2; 1) và hận vecto  làm vecto chỉ phương

=> PHương trình đường thẳng AB: 

+Gọi giao điểm của đường thẳng d với d₁ và AB lần lượt tại M và N .

+ Do M thuộc d₁ nên M( - 2; 1+ m; 2)

+ Do N thuộc AB nên N( -1+ n; 2- n; 1)

=> Đường thẳng d nhận vecto  làm vecto chỉ phương

Lại có; d song song trục Oy nên một vecto chỉ phương của d là 

=> 2 vecto  cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

=> Không tồn tại đường thẳng d thỏa mãn đầu bài.

Chọn D

Ví dụ: 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+ 3y – 2z + 1= 0 và hai đường thẳng  , . Đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1; d2 có phương trình là:

A. 

B. 

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi

Do

 cùng phương

⇔ 

Đường thẳng Δ đi qua N( 0; -1; 1) và có vectơ chỉ phương 

⇒Δ:

Chọn C.

Ví dụ: 9

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng  và mặt phẳng (P): x+ y- 2z + 3= 0 . Gọi Δ là đường thẳng song song với (P) và cắt d1; d2 lần lượt tại hai điểm A; B sao cho  . Phương trình tham số của đường thẳng Δ là

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

Điểm A thuộc d₁ nên A( 1+ 2a; - 1+ a;a)

Điểm B thuộc d₂ nên B( 1+ b; 2+ 2b; b)

=> Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương 

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 

Vì Δ// mp (P) nên 

=>  ⇔ 1( b- 2a) + 1( 3+ 2b- a) – 2( b- a) = 0 ⇔ b- 2a + 3 + 2b – a – 2b + 2a= 0 ⇔ b – a+ 3= 0 ⇔ b= a- 3

Khi đó  nên

Theo đề bài: 

⇔ 2a²+ 27 = 29 ⇔ a²= 1

⇔ 

Vậy có hai đường thẳng Δ thỏa mãn là 

Chọn A.