Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

A. Phương pháp giải

- Cho hai đường thẳng d, d’ có vectơ chỉ phương 

Góc φ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:

- Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương  và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 

Góc φ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công thức:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Tính cosin góc giữa đường thẳng d với trục Ox biết 

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương 

Trục Ox có vecto chỉ phương 

Cosin góc giữa d và Ox là:

Chọn B.

Ví dụ: 2

Tính góc giữa  và d' là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P): x + 2y – z + 1 = 0 và (Q): 2x + 3z – 2 = 0?

A. 30^o

B. 45^o

C. 60^o

D. 90^o

Hướng dẫn giải

Hai mặt phẳng (P)và (Q) có vecto pháp tuyến là: 

d' là giao tuyến của (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d’ là

Đường thẳng d có vecto chỉ phương 

Cosin góc giữa d và d’ là:

=> góc giữa d và d’ bằng 90^o.

Chọn D.

Ví dụ: 3

Tính sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết  và (P): 2x – y + 2z – 1 = 0?

A. 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương 

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến  nên sin góc giữa d và (P) là:

Chọn A.

Ví dụ: 4

Cho bốn điểm A( 1; 0;1) ; B( -1; 2; 1); C( -1; 2; 1) và D( 0; 4; 2). Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD?

A. 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương 

+ Đường thẳng CD có vecto chỉ phương  .

=> Cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:

Chọn C.

Ví dụ: 5

Cho đường thẳng  . Xác định m để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là: 

A. m= 2

B. m = - 4

C. m= (- 1)/2

D. m= 1

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d₁ có vecto chỉ phương 

Đường thẳng d₂ có vecto chỉ phương 

Để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:

Chọn C.

Ví dụ: 6

Cho đường thẳng  và mặt phẳng (P): x+ my- z+ 100= 0. Xác định m để cosin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là  ?

A. m= ± 1

B.m= ± 2

C. m= 0

D. m= ± 3

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương 

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến 

=> Sin góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

Theo giả thiết ta có:

Chọn A.

Ví dụ: 7

Cho đường thẳng  và mặt phẳng (P): 4x- 4y+ 2z- 9= 0. Xác định m để 

A. m= 1

B.m= - 1

C. m= - 2

D. m= -1 hoặc m= -7

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương 

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến 

=> Sin góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

Theo giả thiết ta có: 

Chọn D.

Ví dụ: 8

Cho đường thẳng  ; điểm A( 2; 0; 0); B (0; 1; 0) và C( 0;0;- 3).Xác định sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (ABC) ?

A. 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Phương trình mặt phẳng (ABC): 

Hay ( ABC): 3x + 6y – 2z – 6= 0

Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến  .

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương  .

=> Sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

Chọn A.

Ví dụ: 9

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi đường thẳng d đi qua A( -1; 0; -1), cắt  , sao cho cosin góc giữa d và  là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là

A. 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ₁ là M( 1+ 2t; 2+ t; -2- t)

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương 

Đường thẳng Δ₂ có vectơ chỉ phương 

=> cosin góc giữa hai đường thẳng d và Δ₂ là:

=> cosin góc giữa hai đường thẳng d và Δ₂ là 0 khi t= 0.

Khi đó; M( 1; 2; - 2) và 

Vậy phương trình đường thẳng d là: 

Chọn B.