Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

A. Phương pháp giải

Cách 1:

- Viết PT mặt phẳng (P) chứa d₁ và song song với d₂ - Viết PT mặt phẳng (Q) chứa d₁ và vuông góc với (P) - Tìm giao điểm M = d₁ ∩ (Q), pt đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P)

Cách 2:

Gọi M = d ∩ d₁; N = d ∩ d₂ Vì d là đường vuông góc chung nên

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:

A. 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

- Mặt phẳng (P) chứa d₁ và song song với d₂ có 

Chọn 1 vectơ pháp tuyến của (P) là (6; 5; -4)

- Mặt phẳng (Q) chứa d₁ và vuông góc với (P) có 

=>

1 điểm thuộc d₁ cũng thuộc (Q) là: (2; -1; 0)

Phương trình mặt phẳng (Q) là:

– 2.(x – 2) + 24.(y + 1) + 27.(z – 0) = 0 hay – 2x + 24y + 27z + 28 = 0

- Giao điểm M = d₂ ∩ (Q) có tọa độ là (t; 2t + 1; 4t – 1) thỏa mãn:

– 2.t + 24(2t + 1) + 27(4t – 1) + 28 = 0 ⇔ t = -25/154

=>

Đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của (P) : (6; 5; -4)

Chọn B.

Ví dụ: 2

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:

A.

B. 

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đã cho

M = d ∩ d₁ => M (t; 5-2t; 14-3t)

N = d ∩ d₂ => N (9-4t’; 3+t’; -1+5t’)

=>

Ta có : 

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung d là (1; -1; 1)

Vậy phương trình của d là: 

Chọn A.

Ví dụ: 3

Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng  . Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1; d2 là.

A. 

B.

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng cần tìm

Gọi A = d ∩ d₁; B = d ∩ d₂

+ Do A thuộc d₁ nên A( 2+a; 1- a; 2-a)

+ Do B thuộc d₂ nên B( b; 3; - 2+ b)

+ Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương 

+ Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương 

+ Ta có:

=> A( 2; 1; 2) và B( 3; 3; 1)

+ Đường thẳng d đi qua điểm A ( 2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương 

Vậy phương trình của d là : 

Chọn C.

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A( -1;1;0); B( 1;3;3); C( 1; 2; 1) và D( 1; 1; 1) . Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AC và BD cắt AC và BD lần lượt tại M và N. Tìm M?

A. ( -3; 0; -1)

B. ( 1; 0; 1)

C. ( -1; 0; 2)

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AC : Đi qua A( -1 ; 1 ; 0) và nhận vecto  làm vecto chỉ phương nên có phương trình :

+ Đường thẳng BD : đi qua B( 1 ; 3 ; 3) và nhận vecto  làm vecto chỉ phương nên có phương trình :

+ M thuộc AC nên M( -1+ 2m;1+ m;m)

+ N thuộc BD nên N( 1; 3- 2n; 3- 2n)

+ Ta có đường thẳng MN vuông góc với AC và BD nên :

=> đường thẳng d cắt AC tại M( - 3; 0;-1)

Chọn A.

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho ba điểm A(1; 2; 3); B(0;1 4) và C( - 1; -2; 1) . Gọi d là đường vuông góc chung của AB và OC. Tính độ dài đường vuông góc chung?

A. 2

B. 4

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB: Đi qua A( 1;2; 3) và nhận vecto  làm vecto chỉ phương nên phương trình AB:

+ Đường thẳng OC: đi qua O( 0; 0 ; 0) và nhận vecto  làm vecto chỉ phương nên phương trình OC: 

+ Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AB và OC. Gọi giao điểm của d với AB và OC lần lượt là M và N

+ Điểm M thuộc AB nên M( 1- m; 2- m; 3+ m)

+ Điểm N thuộc OC nên N(n; 2n; - n)

 .

=> Đường thẳng MN vuông góc với hai đường thẳng AB và OC.

Chọn C.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ trục Oxyz; cho các điểm A( 1; 1; 1) và B( -2; 1; 0). Đường thẳng d là đường thẳng vuông góc và cắt cả hai đường thẳng AB và trục Ox. Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A. ( 0; 1; 1)

B. ( -2; 0; 1)

C. ( 0;0; 1)

D. ( 0; 1; 0)

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB có vectoc chỉ phương 

+ Trục Ox có vecto chỉ phương là 

+ Do đường thẳng d vuông góc với AB và Ox nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: 

+ Lại có vecto  cùng phương với vecto u→ nên u'→ cũng là một vecto chỉ phương của d.

Chọn D.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  . Đường thẳng Δ cắt và vuông góc với hai đường thẳng d và trục Oz tại A và B. Tìm tọa độ trung điểm của AB?

A. ( 0;1; - 1)

B. ( 2; -1; 2)

C. ( -2; 1; 0)

D. ( 0; 2; 2)

Hướng dẫn giải

+ Trục Oz: đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và nhận vecto  làm vecto chỉ phương

=> Phương trình Oz: 

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương 

+ Điểm A thuộc d nên A( 1+ a; 2; a) .

+ Điểm B thuộc Oz nên B( 0; 0; b)

+ Đường thẳng Δ đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto  làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng Δ vuông góc với cả hai đường thẳng d và Oz nên :

=> Tọa độ hai điểm A(0; 2; - 1) và B( 0; 0; -1)

=>Tọa độ trung điểm của AB là M( 0; 1; - 1)

Chọn A.

Ví dụ: 8

Cho hai đường thẳng  . Đường thẳng d cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng d₁ và d₂. Viết phương trình đường thẳng d?

A. 

B. 

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d₁ và d₂ có vecto chỉ phương lần lượt là:  .

+ Gọi giao điểm của d với hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là A và B.

+ Điểm A thuộc d₁ nên A( 1; a; 1-a) .

+ Điểm B thuộc d₂ nên B( 2+ b; 1- b; 2)

+ Ta có đường thẳng AB vuông góc với cả hai đường thẳng d₁ và d₂ nên :

=> Phương trình d: 

Chọn B.