Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và điểm

Phương pháp giải

1. Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng d là u→. Lấy 1 điểm N trên d, tính tọa độ vecto MN→

2. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→=[ u→ ; MN→ ]

3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và điểm M (-4; 3; 2)

Hướng dẫn:

Đường thẳng d đi qua điểm N(1; 1; 1) và có vecto chỉ phương u ⃗(0; -2;1)

MN→=(5; -2;-1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm M nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→=[ u→ ; MN→ ]=(4;5;10).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

4(x +4) +5(y -3) +10(z -2) =0

⇔ 4x +5y +10z -19 =0

Bài 2: Cho điểm A (1; 2; 1) và đường thẳng . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và (d)

Hướng dẫn:

Đường thẳng d đi qua điểm N(0; 1; 3) và có vecto chỉ phương u→(3; 4;1)

AN→=(-1; 1;2)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→=[ u→ ; MN→ ]=(7; -5; 7).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

7(x -1) +5(y -2) +7(z -1) =0

⇔ 7x +5y +7z -24 =0

Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (4; -3; 1) và đường thẳng . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.

Hướng dẫn:

Đường thẳng d đi qua điểm N(-1; 1; -1) và có vecto chỉ phương u→ (2; 1;2)

AN→ =(-5; 4;-2)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→ =[ u→ ; AN→ ]=(17; 0; -17) =17(1;0; -1)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

(x -4) -(z -1) =0

⇔ x -z -3 =0

Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua điểm A(0; 0; 2) và chưa trục hoành có phương trình là:

Hướng dẫn:

Trục hoành đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vecto chỉ phương u→(1;0;0)

OA→=(0; 0; 2)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→=[ u→ ; OA→ ]=(0;-2;0)= -2(0;1;0)

Phương trình mặt phẳng (P) là: y -2 =0