Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng

A. Phương pháp giải

+ Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ

+ Đường thẳng d song song với đường thẳng Δ nên đường thẳng d nhận vecto u_d→ =  u_Δ→làm vecto chỉ phương .

+ Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và có VTCP là u_d→

Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.

+ Nếu đường thẳng d song song với trục Ox thì có VTCP là 

+ Nếu đường thẳng d song song với trục Oy thì có VTCP là 

+ Nếu đường thẳng d song song với trục Oz thì có VTCP là 

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d biết d đi qua A (1; 2; 3) và song song với  . Tìm mệnh đề sai

A. Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là 

B. Vậy phương trình tham số của d là:

C. Phương trình chính tắc của d là:

D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Hướng dẫn giải

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình tham số của d là:

Phương trình chính tắc của d là:

Chọn D.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d biết d đi qua A (0; 2; -1) và song song với  . Tìm mệnh đề sai ?

A. Điểm M(2; 8; - 3) thuộc đường thẳng d.

B. Phương trình tham số của đường thẳng d : 

C. Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) : x+ 3y- z+ 10= 0

D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:

Hướng dẫn giải

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình tham số của d là:

Cho t= 2 ta được điểm M ( 2; 8; -3) thuộc đường thẳng d

Phương trình chính tắc của d là:

Mặt phẳng (P): x+ 3y – z+ 10= 0 có vecto pháp tuyến 

=> Vecto chỉ phương của đường thẳng d là vecto pháp tuyến của măt phẳng (P)

=> đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

=> C sai

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC với A(0; 1;2 ); B( -2; 1;2); C ( -3; 2; 1). Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.

Đường thẳng BC đi qua B và C nên nhận vecto  làm vecto chỉ phương.

Vì d song song với BC nên d có vectơ chỉ phương 

=> Phương trình tham số của đường thẳng d:

Chọn A

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M( 2; -4; 1) và song song với trục hoành là.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.

Trục hoành có vecto chỉ phương 

Vì d song song với trục hoành nên d có vectơ chỉ phương u→ = 

Đường thẳng d đi qua M (2; -4; 1) và có vectơ chỉ phương u→

Vậy phương trình tham số của d là 

Chọn C.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  . Phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm A(-2; - 3; -1) và song song với d là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương 

Vì Δ song song với d nên Δ có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng Δ đi qua điểm A(-2; -3; -1) và có vectơ chỉ phương u→ 

Vậy phương trình chính tắc của Δ là : 

Chọn D.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  . Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M( -2; 3; 0) và song song với d là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương 

Vì Δ song song với d nên Δ có vectơ chỉ phương u→ = 

Đường thẳng Δ qua điểm M(-2; 3; 0) và có vectơ chỉ phương u→ 

Vậy phương trình tham số của Δ là

Chọn A.

Ví dụ 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua H(0; 3; 1) song song với đường thẳng AB. Biết A( -1; 3; 2) và B( 0; 2; 1). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.

A.

B. 

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB đi qua A và B nên nhận vecto  làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d song song với AB nên đường thẳng d nhận vecto  làm vecto chỉ phương

=>Phương trình chính tắc của đường thẳng d: 

Chọn B.

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; 2; 3) và B( 3; 4; 5). Gọi M là trung điểm AB. VIết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và song song với đường thẳng Δ: 

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa đọ điêm M là:

+ Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương 

+ Do đường thẳng d song song với đường thẳng Δ nên đường thẳng d nhận vecto  làm vecto chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng d:

Chọn A.