Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng theo đường tròn có bán kính R

Phương pháp giải

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P là:

d=d(I;(P))

Bán kính R của mặt cầu được tính theo công thức:

R=√(r²+d² )

Khi đó phương trình mặt cầu có tâm I (a; b; c) và bán kính R là:

(S): (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 10 = 0 và điểm I (2; 1; 3). Phương trình mặt cầu (S) tâm I cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 4 là:

Hướng dẫn:

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;P)

Bán kính R của mặt cầu là:

R= 5

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-2)²+(y-1)²+(z-3)²=25

Bài 2: Cho điểm A (1; 2; 4) và mặt phẳng (P): x + y + z =1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A, biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo một thiết diện là một đường tròn có chu vi 4π

Hướng dẫn:

Gọi r là bán kính thiết diện

Theo bài ra, đường tròn thiết diện có chu vi 4π

⇒ 2πr = 4π ⇒ r=2

Phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;P)= 2√3

Gọi R là bán kính mặt cầu

⇒ R=√(r²+d² )=4

Phương trình mặt cầu tâm I, bán kính R = 4 là:

(x-1)²+(y-2)²+(z-4)²=16

Bài 3: Cho hai mặt phẳng (P): 5x – 4y + z – 6 = 0, (Q): 2x – y + z + 7 = 0 và đường thẳng Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và Δ sao cho (Q) cắt (S) theo một đường tròn có diện tích là 20π.

Hướng dẫn:

I là giao điểm của (P) và Δ

I thuộc Δ nên I (1+7t; 3t; 1 – 2t)

Lại có I thuộc (P) nên:

5(1+7t) -4.3t+1 -2t-6=0 ⇔ t=0

⇒ I(1;0;1)

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (Q) là:

d(I;(Q))= (5√6)/3

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có:

πr² =20π ⇒ r=2√5

Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có:

⇒ R=√(r² +d² )= √(330)/3

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)²+y²+(z-1)²=110/3