Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (tổng hợp)

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn |z| ≤ 1. Đặt A = . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. |A| < 1     B. |A| ≤ 1     C. |A| ≥ 1     D. |A| > 1

Hướng dẫn:

Ta có:

2A + Aiz = 2z - i ⇔ (2 - Ai)z = 2A + i

Đặt A = a + bi.

Suy ra

|z| ≤ 1 ⇒ |2A + i| ≤ |2 - Ai| ⇔ 4a² + (2b + 1)² ≤ a² + (b + 2)² ⇔ 3a² + 3b² ≤ 3

Chọn đáp án là B.

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Hướng dẫn:

Ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 

Chọn đáp án C.

Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn |z - 1| 2i| = 3. Mô đun lớn nhất của số phức z là:

A. 3 + √5     B. 2√5     C. 3    D. Tất cả sai

Hướng dẫn:

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = 3. Khi đó |z| = OM với O là gốc tọa độ. Do đó

max |z| = OI + r = 3 + √5

Chọn đáp án là A.

Câu 4: Cho số phức z, w thỏa mãn |z - 1 + 2i| = |z + 5i|, w = iz + 20. Giá trị nhỏ nhất m của |w| là

Hướng dẫn:

Gọi A (1; −2), B (0; −5), tập hợp các điểm z thỏa mãn giả thiêt đề bài là đường trung trực d của AB có phương trình x + 3y + 10 = 0. Ta có |w| = |iz + 20| = |z - 20i| = OM với M là điểm biểu diễn số phức z và C(0; 20). Do đó min |w| = d(C.∆) = 7√10

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn:

Biết biểu thức Q = |z - 2 - 4i| + |z - 4 - 6i| đạt giá trị nhỏ nhất tại z = a + bi (a, b ∈ R). Tính P = a − 4b

Hướng dẫn:

tập hợp các điểm z thỏa mãn giả thiêt đề bài là đường trung trực d của AB có phương trình x − 4y + 2 = 0.

Xét hai điểm M(2; 4), N(4; 6) thì Q = IM + IN với I ∈ d.

Do đó Q nhỏ nhất khi và chỉ khi I là giao điểm của M0N với  là điểm đối xứng của M qua d

Chọn đáp án là A.

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn:

Gọi M và m lần lượt là Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của |z|. Tính M.m

A. Mnm = 2    B. Mm = 1    C. Mm = 2√2    D. Mm = 2√3

Hướng dẫn:

Ta có:

Theo giả thiết thì số phức z thỏa mãn

Gọi A(−1; 1), B(1; −1) có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z. Theo công thức trung tuyến thì

Vậy Mm = 2√2.

Chọn đáp án là C.

Câu 7: Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn |z - 2| + |z + 2| = 4√2. Trong mặt phẳng tọa độ, gọi M, N là điểm biểu diễn z và z. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN

A. 1    B. √2    C. 4√2    D. 2√2

Hướng dẫn:

Gọi điểm M biểu diễn số phức z = x + iy và N biểu diễn số phức  thì M, N đối xứng nhau qua Ox. Diện tích tam giác OMN là S_OMN = |xy|

Do |z - 2| + |z + 2| = 4√2 nên tập hợp M biểu diễn x là Elip

Chọn đáp án là D.

Câu 8: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện (z - 1)( + 2i) là số thực. Tính giá trị nhỏ nhất của mô – đun của số phức z.

Hướng dẫn:

Giả sử z = x + yi,

Khi đó (z - 1)( + 2i) = x(x - 1) + y(y - 2) + [xy - (x - 1)(y - 2)]i

theo bài do số phức trên là số thực nên xy - (x - 1)(y - 2) = 0 ⇔ y = 2 - 2x

Từ đó ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 9: Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn |z₁|z₁ = 9|z₂|z₂ và nếu gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của  trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì tam giác OMN có diện tích bằng 6. Tính giá trị nhỏ nhất của P = |z₁ + z₂

A. min P = 8    B. min P = 6

C. min P = 4√2    D. min P = 3√2

Hướng dẫn:

+ Từ |z₁|z₁ = 9|z₂|z₂ suy ra |z₁| = 3|z₂| = 3t (t > 0) và điểm biểu diễn cho số phức z₁, z₂ và điểm thẳng hàng (các véc tơ còn cùng hướng). Trong đó điểm N' đối xứng của điểm N qua trục Ox là điểm biểu diễn cho số phức z₂. Thế vào hệ thức trên ta được:

+ Giả sử z₁ = x + yi; z₂ = a + bi, (a, b, x, y ∈ R) suy ra M(x; y); N(a; -b); N'(a; b). Ta có:

Từ đó ta có: |bx + ay| = 12 hay |ab| = 2 (1)

Ta có:

Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi

Chọn đáp án A.

Câu 10: Xét tập A gồm các số phức z thỏa

 là số thuần ảo và các giá trị m, n thỏa chỉ có duy nhất số phức z ∈ A thỏa |z - m - mi| = √2. Đặt M = max(m + n), N = min(m + n) thì giá trị của tổng M + N là?

A. -2     B. - 4    C. 2     D. 4

Hướng dẫn:

Vận dụng tính chất ta có a thuần ảo thì

Từ giả thiết suy ra:

Vậy tập hợp A là đường tròn (C) có tâm I(1;1) bán kính R = √2.

Ta có: |z - m - mi| = √2 ⇔ (x - m)² + (y - n)² = 2 do phương trình này có nghiệm duy nhất nên x = m, y = n

Vậy ta có: M = max(x + y); m = min(x + y).

Gọi M là một giá trị của x+ y hay x + y = T ⇔ x + y - T = 0

+ Xét đường thẳng d: x + y - T = 0

Hệ trên có nghiệm khi và chỉ khi:

Vậy M = 4; m = 0 nên M + m = 4.

Chọn đáp án D.

Câu 11: Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa |z + 2i - 1| = |z + i|. Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A(1 ;3) .

A.3 + i    B. 1 + 3i.    C. 2 - 3i.    D. -2 + 3i.

Hướng dẫn:

Gọi M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi (x, y ∈ R)

Gọi E(1 ; -2) là điểm biểu diễn số phức 1 - 2i

Gọi F(0 ; -1) là điểm biểu diễn số phức -i

Ta có: |z + 2i - 1| = |z + i| ⇔ ME = MF => Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực EF : x - y - 2 = 0.

Để MA ngắn nhất khi MA ⊥ EF tại M ⇔ M(3; 1) => z = 3 + i

Chọn A.

Câu 12: Cho số phức z thoả |z - 3 + 4i| = 2 và w = 2z + 1 - i. Khi đó |w| có giá trị lớn nhất là:

Hướng dẫn:

=> Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(7;-9) bán kính R = 4.

Khi đó |w| có giá trị lớn nhất là OI + R = √130 + 4

Câu 13: Cho số phức z₁ thỏa mãn |(1 + i)z + 1 - 5i| = 5√2 và số phức z₂ thỏa mãn |z + 1 + 2i| = |z+ i|. Tính tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z₁ - z₂|

Hướng dẫn:

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z₁; z₂ trên mặt phẳng.

Chọn B.

Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn |z| ≥ 2. Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Hướng dẫn:

Áp dụng BĐT ||z₂| - |z₁|| ≤ |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |₂|

Ta có:

Do đó maxP = 3/2; minP = 1/2

MaxP.minP = 3/4

Chọn D.

Câu 15: Cho hai số phức z; w thỏa mãn |z - 1| = |z + 3 - 2i|; w = z + m + i với m ∈ R là tham số. Giá trị của m để ta luôn có |w| ≥ 2√5 là:

Hướng dẫn:

Ta có: z = w - m - i => |w - m - 1 - i| = |w + 3 - m - 3i|

Tập hợp điểm M biểu diễn w là trung trực của A(m + 1; 1); B(m - 3; 3) nên là đường thẳng d qua trung điểm I(m - 1; 2) và có  => d: 2x - y - 2m + 4 = 0

Đặt z = a + bi do |w| ≥ 2√5 nên M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R = 2√5

Chọn B.