Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp giải

1. Tìm vecto pháp tuyến của (β) là n_β→

2. Tìm vecto chỉ phương của Δ là u_Δ→

3. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là n_α→=[n_β→ ; u_Δ→ ]

4. Lấy một điểm M trên Δ

5. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có vecto pháp tuyến n_α→

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+2x-z+1=0

Hướng dẫn:

Đường thẳng d đi qua điểm A (0; -1; 2) và có vecto chỉ phương u→=(-1;2;1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n_Q→=(1;2; -1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với (Q) nên (P) có một vecto pháp tuyến là

n ⃗=[u→ , n_Q→ ]=(-4;0;-4) =-4(1;0;1)

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và có vecto pháp tuyến n→ là:

x +z -2 =0

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+y+z-3=0. Viết phương trình mặt phẳng (P).

Hướng dẫn:

Trục Ox có vecto chỉ phương u→=(1;0;0) và đi qua điểm A (1; 0; 0)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n_Q→=(1;1;1)

Mặt phẳng (P) chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→=[u→ , n_Q→] =(0; -1;1)

Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:

y -z =0

Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua A(2; -1; 4), B(3; 2; -1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+y+2z-3=0. Viết phương trình mặt phẳng (P).

Hướng dẫn:

Ta có: AB→=(1;3; -5)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n_Q→=(1;1;2)

Do mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là n→=[ AB→ , n_Q→ ]=(11; -7; -2)

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và có vecto pháp tuyến

n→= (11; -7; -2) là:

11(x -2) -7(y +1) -2(z -4) =0

⇔ 11x -7y -2x -21 =0

Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (α) đi qua M(0; -2; 3), song song với đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng (β):x+y-z=0 có phương trình là:

Hướng dẫn:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u→=(2; -3;1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n_Q→=(1;1;-1)

Mặt phẳng (P) song song với đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→=[u→ , n_Q→ ]=(2;3;5)

Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→=(2;3;5) và đi qua

M(0; -2; 3) là:

2x +3(y +2) +5(z -3)=0

⇔ 2x +4y +5z -9 =0