Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 mặt phẳng

Phương pháp giải

1. Tìm vecto pháp tuyến của (P) và (Q) là n₁→ và n₂→

2. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là n→=[n₁→ ; n₂→ ]

3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-1; -2; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z +1=0 và (R):2x-3y+z+1=0

Hướng dẫn:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n₁→=(1;2; -3)

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (R) là n₂→=(2; -3;1)

Ta có: [n₁→ ; n₂→ ]=(-7; -7; -7) nên mặt phẳng (P) nhận n→=(1;1;1) là một vecto pháp tuyến và (P) đi qua điểm M(-1; -2; 5) nên mặt phẳng (P) có phương trình: x+1+y+2+z-5=0

⇔ x +y +z -2 =0

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3; -1; -5), đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (Q):3x-2y+2z=0 và (R):5x-4y+3z=0

Hướng dẫn:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n₁→=(3;-2; 2)

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (R) là n₂→=(5; -4;3)

Ta có: [n₁→ ; n₂→ ]=(2;1;-2) nên mặt phẳng (P) nhận n→=(2;1;-2) là một vecto pháp tuyến và (P) đi qua điểm M (3; -1; -5) nên mặt phẳng (P) có phương trình:

2(x -3) +y +1 -2(z +5) =0

⇔ 2x +y -2z -15 =0

Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A (-1; 2; -3), đồng thời vuông góc với mặt phẳng Oxy và mặt phẳng (Q): x + 2y – z + 4 = 0.

Hướng dẫn:

Mặt phẳng Oxy có vecto pháp tuyến n₁→=(0;0;1)

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n₂→=(1; 2;-1)

Ta có: [n₁→ ; n₂→ ]=(-2;1;0) nên mặt phẳng (P) nhận n→=(2;-1;0) là một vecto pháp tuyến và (P) đi qua điểm A (-1; 2; -3) nên mặt phẳng (P) có phương trình:

2(x +1) -(y -2) =0

⇔ 2x -y +4 =0

Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm A (1; -3; 2) và vuông góc với hai mặt phẳng (α): x+3=0 và (β): z-2=0 có phương trình là:

Hướng dẫn:

Mặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến là n₁→=(1;0;0)

Mặt phẳng (β) có vecto pháp tuyến là n₂→=(0;0;1)

Ta có: [n₁→ ; n₂→ ]=(0;-1;0) nên mặt phẳng (P) nhận n→=(0;1;0) là một vecto pháp tuyến và (P) đi qua điểm A (1; -3; 2) nên mặt phẳng (P) có phương trình:

y+3=0