Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

A. Phương pháp giải

Cách 1:

+ Cả hai trường hợp đều suy ra  .

Mà (P) và (Q) cắt nhau

=>Véc tơ chỉ phương của d là 

+ Tìm một điểm M thuộc đường thẳng d.

+ Đường thẳng d đi qua M và nhận vecto  làm vecto chỉ phương

=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Cách 2:

Nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) thì với mỗi điểm

M ( x; y;z) thuộc d là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt x= t ( hoặc y= t hoặc z= t) thay vào hệ (*) rồi rút y; z theo t

Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng d.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α):x-3y+z=0 và (α^'):x+y-z+4=0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng d

A.

B.

C. 

D.

Hướng dẫn giải

* Cách 1: Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt y = t, ta có:

Vậy phương trình tham số của d là:

Cách 2: Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho y = 0 trong hệ (*)

Ta có hệ 

Vậy điểm M₀(-2;0;2) thuộc đường thẳng d.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là 

Vậy phương trình tham số của d là: 

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (P): y – 2z + 3 = 0 và mặt phẳng tọa độ (Oyz).

A.

B.

C.

D. 

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

 là phương trình đường thẳng d

Chọn A.

Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (1; 2; - 1) và song song với đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (α):x+y-z+3=0 và (α^'):2x-y+5z-4=0

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng là: 

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Vậy phương trình đường thẳng d là 

Chọn C.

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α):2x+y+1=0 và (β):x-y+z-1=0

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng 

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho x = 0 trong hệ (*)

Ta có hệ 

Vậy điểm M₀(0;-1;0) thuộc đường thẳng d.

Vậy phương trình đường thẳng d là 

Chọn C.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x- 2y – z+10= 0 và (β): 2x+2y – 3z – 40= 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3; 1) và song song với đường thẳng Δ là

A.

B.

C. 

D.

giải

Mặt phẳng (α) có vec tơ pháp tuyến 

Mặt phẳng (β ) có vec tơ pháp tuyến 

Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương là 

Vậy phương trình của d là:

Chọn D.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai mặt phẳng (P): x- 2y+ 2z- 9= 0 và (Q): 3x- 5y – 2z + 9= 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-2; -3; 5) và song song với hai mặt phẳng (P) và ( Q) là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến 

Đường thẳng d đi qua điểm M( -2; -3;5) và có vectơ chỉ phương là:

Vậy phương trình của d là 

Chọn A

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz) cho mặt phẳng (P): 2x- y+ 2z- 3= 0. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2; -3; -1 ), song song với hai mặt phẳng ( P) và ( Oyz) là.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0 nên có vectơ pháp tuyến 

Đường thẳng d đi qua điểm A( 2; -3; -1) và có vectơ chỉ phương là

Vậy phương trình của d là 

Chọn B.

Ví dụ 8. Trong không gian với hệ trục oxyz; cho đường thẳng d đi qua A(1; 0; -3) và song song với hai mặt phẳng ( Oxy) và ( Oxz). Viết phương trình của đường thẳng d?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z= 0 nên có vectơ pháp tuyến 

Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y= 0 nên có vectơ pháp tuyến 

Đường thẳng d đi qua điểm A(1;0;-3) và có vectơ chỉ phương là 

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.