Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

A. Phương pháp giải

- Muốn tìm khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng d: có 2 cách sau:

+ Cách 1: Tìm hình chiếu H của điểm đó đến d => MH là khoảng cách từ A đến d

+ Cách 2. công thức (với u→ là vectơ chỉ phương của d và M₀ là một điểm thuộc d)

- Muốn tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d (u→ là vectơ chỉ phương của d và d đi qua M₀) và d’ ((u') ⃗ là vectơ chỉ phương của d’ và d’ đi qua M₀') ta làm như sau:

+ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song d’

+ Khoảng cách giữa d và d’ chính là khoảng cách từ điểm M₀' đến mặt phẳng (P) d( d,d’) = d(M₀',(P))

+ Hoặc dùng công thức:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Tìm khoảng cách của A(-2; 1; 3) đến đường thẳng 

A. 

B. 

C. 2

D. 

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua B(0;1; -1) và có vectơ chỉ phương 

Ta có: 

Vậy

Chọn B.

Ví dụ: 2

Cho mặt phẳng (P): 3x – 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng  Tính khoảng cách giữa d và (P)

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến 

Đường thẳng d có vecto chỉ phương  và đi qua điểm M₀(1;7;3)

Ta có: 

Vậy d // (P)

Chọn D.

Ví dụ: 3

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

A. 

B. 

C. 

D. 1

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: 

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là:  .

- Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và song song với d’. (P) nhận vectơ pháp tuyến là

M₀(1;-1;1) thuộc d cũng thuộc (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

- 1(x-1) – 2(y+1) + 1(z-1) = 0 hay x + 2y – z + 2 = 0

- d’ đi qua M₀'(2;-2;3)

Vậy 

Cách 2:

Ta có:

Vậy

chọn A.

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  và điểm A( -1; 2; 1). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d?

A.

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( 1; 0; - 2) và có vecto chỉ phương 

+ Ta có: 

=> Khoảng cách từ A đến đường thẳng d là:

Chọn C.

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng  . Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho?

A. 

B.

C.

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua A( 1;0; - 2) và có vecto chỉ phương 

+ Đường thẳng d’ đi qua B( 2; -1; 2) và có vecto chỉ phương 

=> Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho là:

Chọn B.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho 3 điểm A( 0; 1; 2); B( -2;0; 1) và C( 2; 1; -3). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC?

A.

B.

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng BC đi qua B( -2; 0;1) và nhận vecto  làm vecto chỉ phương

+ Ta có:

=> Khoảng cách từ điể A đến đường thẳng BC là:

Chọn A.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho bốn điểm A(1; 2; -1); B( -2; 1; 1) C( 2; 1; 3) và D( -1; 0; 5). Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CD? biết rằng ba điểm A, C và D không thẳng hàng.

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB: đi qua A(1;2; -1) và nhận vecto  làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng CD đi qua C( 2; 1; 3) và nhận vecto  làm vecto chỉ phương.

+ Hai đường thẳng AB và CD có cùng vecto chỉ phương và điểm A không thuộc đường thẳng CD.

=> AB// CD nên d( AB; CD) = d( A; CD)

+ Ta có: 

Chọn C.

Ví dụ: 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(-1; 0;2) và đường thẳng d:  . Tìm m để khoảng cách từ A đến d là  ?

A. m= -1 hoặc m= (- 2)/3

B. m= - 1 hoặc m= 1/7

C. m= 1 hoặc m= - 1

D. m= 1 hoặc m= 1/7

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua M( 2; 1; 2) và có vecto chỉ phương 

+ Ta có; 

+ Theo đầu bài ta có: d( A; d)= 

Chọn B.

Ví dụ: 9

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; m;2) và đường thẳng  . Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng d là 2?

A. m= 2

B. m= - 1

C. m= 3

D. m= - 4

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua M( 1; 2; 0) và có vecto chỉ phương 

+ Ta có: 

+ Để khoảng cách từ A đến d là 2 thì:

Chọn A.