Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

A. Phương pháp giải

Xét vị trí tương đối của đường thẳng  và mặt cầu (S) tâm I(a’; b’; c’) bán kính R. Gọi d= d( I; d) thì:

d > R thì d không cắt (S).

d=R thì d tiếp xúc (S). Để tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt cầu ( S) ta làm như sau:

Thay x= x₀+ at; y= y₀ + bt; z= z₀ + ct vào phương trình mặt cầu

=> t= .... => Tọa độ giao điểm.

d < R thì d cắt ( S) tại hai điểm A và B. Để tìm được tọa độ giao điểm ta làm như trên.

* Chú ý: đường thẳng d đí qua A và có vecto chỉ phương u ⃗. Khi đó; khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d là:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Cho mặt cầu (S): x²+ y² + z²- 2x + 4z+ 1= 0 và đường thẳng  . Biết có hai giá trị thực của tham số m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A; B và các mặt phẳng tiếp diện của ( S) tại A và tại B luôn vuông góc với nhau . Tích của hai giá trị đó bằng

A. 16

B. 12

C.14

D. 10

Hướng dẫn giải

+ Mặt cầu ( S) có tâm I( 1; 0; -2) và bán kính R= 2

Đường thẳng d qua M(- 1; 0; m) và vtcp 

+Đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt A và B nên IA= IB = R= 2.

Lại có các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau nên IA vuông IB.

=> Tam giác IAB vuông cân tại I.

Suy ra 

+ Mà 

Suy ra m= -2 hoặc m= - 6 và tích cần tìm là ( -2). ( - 6) = 12.

Chọn B.

Ví dụ: 2

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  và và mặt cầu ( S): x²+ y² + z² – 2x+ 4z + 1= 0. Số điểm chung của Δ và ( S) là

A.0

B.1

C.2.

D. 3

Hướng dẫn giải

Đường thẳng đi qua M( 0; 1; 2) và có VTCP 

Mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; -2) và bán kính R= 2.

Ta có 

Vì d(I,Δ)>R nên không cắt mặt cầu ( S) .

Chọn A.

Ví dụ: 3

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  và mặt cầu ( S): (x-1)²+ ( y+ 3)² + ( z- 2)²= 1. Giá trị của m để đường thẳng không cắt mặt cầu ( S) là:

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của đường thẳng Δ và mặt cầu (S) là nghiệm hệ phương trình :

Thay (1); ( 2) và (3) vào ( *) ta được:

(2+t+1)²+(1+mt+3)²+(-2t-2)²=1

⇔ ( t+ 1)² + ( mt+ 4)²+ ( 2t+ 2)² = 1

⇔ t² + 2t+ 1+ m²t² + 8mt+ 16 + 4t2 + 8t+ 4- 1= 0

⇔ (m² + 5)t² + 2( 5+ 4m)t+ 20 = 0 ( **)

Để không cắt mặt cầu ( S) thì (**) vô nghiệm, hay (**) có Δ’<0

⇔ ( 5+ 4m)² – 20( m² + 5) < 0

⇔ 25+ 40m+ 16m² – 20m² – 100< 0

⇔ - 4m² + 40m – 75 < 0

 .

Chọn A.

Ví dụ: 4

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S): ( x-1)₂ + ( y+3)₂ + ( z- 2)₂ =1và đường thằng . Giá trị của m để đường thẳng Δ tiếp xúc mặt cầu (S) là:

A. 

B.  .

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của đường thẳng Δ và mặt cầu (S) là nghiệm hệ phương trình :

Thay (1); ( 2) và (3) vào ( *) ta được:

(2+t-1)₂ + (1 + mt + 3)₂ + (-2t-2)₂=1

⇔ ( t+ 1)₂ + ( mt+ 4)₂+ ( 2t+ 2)₂ = 1

⇔ t₂ + 2t+ 1+ m₂t₂ + 8mt+ 16 + 4t₂ + 8t+ 4- 1= 0

⇔ (m₂ + 5)t₂ + 2( 5+ 4m)t+ 20 = 0 ( **)

Để Δ tiếp xúc mặt cầu ( S) thì (**) có nghiệm kép nên:

 .

Chọn B.

Ví dụ: 5

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S): x² +( y+1)² + (z- 1)² = 4 và đường thẳng  . Giá trị của m để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S) tại hai điểm phân biệt là:

A. m < 2 hoặc m > 5.

B. m > - 2 hoặc m - 5

C. m= 2 hoặc m = - 5

D. Không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S) là nghiệm hệ phương trình :

Thay (1); (2) ; (3) vào (*) ta được:

2² + ( 1- t+ 1)² + ( mt- 1)² =4

⇔ 4+ 4 – 4t+ t²+ t + m²t² - 2mt+ 1- 4= 0

⇔ ( m²+ 1)t² – ( 3+ 2m)t+ 5=0 ( **)

Để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt

⇔ Δ >0 ⇔ ( 3+ 2m)² – 4. 5.( m² +1) > 0

⇔ 9+ 12m + 4m² – 20m² – 20> 0

⇔ - 16m² + 12m- 11> 0 ( vô lí - vì – 16m² + 12m- 11 < 0 với mọi m)

Chọn D.

Ví dụ: 6

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  và và mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x – 4y+ 6z – 67= 0. Số điểm chung của Δ và( S) là:

A.3.

B.0.

C.1

D. 2

Hướng dẫn giải

Đường thẳng đi qua M(-2; 0; 3) và có VTCP 

Mặt cầu ( S) có tâm I( 1; 2; - 3) và bán kính R= 9.

Ta có 

Vì d( I;Δ) < R nên cắt mặt cầu ( S) tại hai điểm phân biệt.

Chọn D.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  và mặt cầu ( S): ( x-1)² + ( y+ m)²+ z² = 1. Tìm điều kiện của m để đường thẳng d và mặt cầu ( S) có điểm chung?

A. -1≤ m ≤ 0 .

B. m > - 2 hoặc m < - 3

C. m > 1 hoặc m < 0

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S) là nghiệm hệ phương trình :

Thay (1); ( 2) và ( 3)vào ( *) ta được:

( 1- t – 1)² + ( 1+ m)² + t² = 1

⇔ t²+ 1+ 2m+ m² + t² – 1= 0

⇔ 2t² + 2m + m² = 0

⇔ t² = - m- m² ( **)

Để đường thẳng d và mặt cầu ( S) có điểm chung khi và chỉ khi phương trình ( **) có nghiệm nên: - m – m² ≥ 0 ⇔ - 1 ≤ m ≤ 0 .

Chọn A.