Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng

A. Phương pháp giải

Cách 1:

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d1

Bước 2: Tìm giao điểm A = (α)∩d₂

Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, A

Cách 2:

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d1

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d2

Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (α)∩(β)

Cách 3:

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d và d₁, d và d₂

Đường thẳng d đi qua M nên A, B, M thẳng hàng

=>  cùng phương => 

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng  . Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A(0; 2; -4) và cắt hai đường thẳng d₁ và d₂

A. 

B. 

C. 

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa d₁

Đường thẳng d₁ qua B( 2 ; 1 ; -1) và có vecto chỉ phương 

Ta có : 

Mặt phẳng (P) có một vecto phap tuyến là : 

+ Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d₂

Đường thẳng d₂ qua C( -1; 3; -2) và có vecto chỉ phương 

Ta có: 

Mặt phẳng (Q) có một vecto phap tuyến là : 

+ Khi đó đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

=> Một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ là: 

Do vậy phương trình Δ là: 

Chọn A.

Ví dụ 2 : Phương trình đường thẳng Δ đi qua và cắt cả hai đường thẳng  là :

A.

B. 

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và đi qua điểm A.

Đường thẳng d đi qua điểm B( 1;0 ;3) và có vecto chỉ phương 

Ta có : 

Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là : 

+ Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d’

Đường thẳng d’ qua C( 0; -1; 2) và có vecto chỉ phương 

Ta có: 

Mặt phẳng (Q) có một vecto phap tuyến là : 

+ Đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương là  và đi qua A nên có phương trình tham số là:

Chọn D.

Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M (1; 1; 0) và cắt hai đường thẳng: 

A.

B. 

C. 

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

Cách 1:

- Một điểm thuộc d₁ là : A (1; 0; 0)

=> 

Mặt phẳng (α) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là 

=> 

Phương trình mặt phẳng (α) là: 0.(x – 1) + 0. (y – 1) + 1. (z – 0) = 0 hay z = 0

- Giao điểm B = (α)∩d₂ là (0; 0; 0)

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, B

Vectơ chỉ phương của d là: 

Vậy phương trình đường thẳng d là: 

Cách 2:

- Tương tự cách 1: Phương trình mặt phẳng (α) là: z = 0

- Một điểm thuộc d₂ là : A (0; 0; 0)

=> 

Mặt phẳng (β) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là 

=>

Phương trình mặt phẳng (β) là: (-1) .(x – 1) + 1. (y – 1) + 0. (z – 0) = 0 hay –x + y = 0

- Đường thẳng cần tìm d = (α)∩(β)

Vectơ chỉ phương của d là 

=>

Vậy phương trình đường thẳng d là: 

Cách 3:

Gọi A là giao điểm của d và d₁ => A(1+t_1;-t_1;0)

Gọi B là giao điểm của d và d₂ => B(0;0;2+t_2 )

=>

theo đề bài =>  cùng phương

=> 

=>

=>  là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d

Vậy phương trình đường thẳng d là: 

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua điểm A (1; 2; 3) và cắt hai đường thẳng 

A. 

B. 

C. 

D.

Hướng dẫn giải

- đường thẳng d1 có vecto chỉ phương  . Một điểm M thuộc d₁ là M (0; -1; 2)

=> 

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là

=> 

- Đường thẳng d₂ có vecto chỉ phương  . Một điểm thuộc d₂ là N (0; -2; 0)

=>

Mặt phẳng (β) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là

=> 

- Đường thẳng cần tìm d = (α)∩(β)

Vectơ chỉ phương của d là 

=>

Vậy phương trình đường thẳng d là: 

Chọn B.

Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua điểm M (3; 3; -2) và cắt hai đường thẳng 

A.

B. 

C: 

D.Đáp án khác

Hướng dẫn giải

-Đường thẳng d₁ có vecto chỉ phương  . Một điểm thuộc d1 là : A (1; 2; 0)

=> 

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là

=> 

Phương trình mặt phẳng (α) là: 7.(x – 1) – 4 . (y – 2) + 5. (z – 0) = 0 hay 7x – 4y + 5z + 1 = 0

- Giao điểm B = (α)∩d₂ là ( -1; 1; 2)

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, B

Vectơ chỉ phương của d là: (BM) ⃗=(4;2; -4) hay chọn vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình đường thẳng d là: 

Chọn C.

Ví dụ 6 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho điểm I(1 ;1 ;2) hai đường thẳng  . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d₁ ; d₂ là.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và chứa d₁

Đường thẳng d₁ đi qua M₁( 3 ; -1 ; 4) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến: 

Gọi (Q) là mặt phẳng qua I và chứa d₂

Đường thẳng d₂ đi qua M₂( -2 ; 0 ;2) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến 

Đường thẳng d đi qua điểm I(1;1; 2) và có vectơ chỉ phương:

Vậy phương trình đường thẳng d là 

Chọn D.

Ví dụ 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(1; 1; -2), đường thẳng  và mặt phẳng  . Đường thẳng Δ cắt d và (α) lần lượt tại M; N sao cho A là trung điểm của MN có phương trình là

A.

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

Ta có  .

Do A( 1; 1; -2) là trung điểm của MN nên tọa độ N( 1- 2t; t+ 3; - 4- 3t) .

Mặt khác 

Khi đó Δ đi qua A(1; 1; -2) và 

Chọn D.

Ví du 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; 3; 2); B ( 3; 3; 0) và đường thẳng  . Gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua H (1;1;1) và cắt hai đường thẳng d và OM?

A.

B.

C.

D. 

Hướng dẫn giải

Tọa độ trung điểm của AB là: M(2; 3; 1)

Gọi (P) là mặt phẳng qua H và chứa d

Đường thẳng d đi qua M₁ (0 ; -2 ;1) có vectơ chỉ phương 

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến: 

Gọi (Q) là mặt phẳng qua H và chứa OM

Đường thẳng OM đi qua O (0; 0 ; 0) và có vectơ chỉ phương 

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến 

Đường thẳng Δ đi qua điểm H(1;1; 1) và có vectơ chỉ phương:

Vậy phương trình đường thẳng d là 

Chọn D.