Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng một góc

Phương pháp giải

1. Tìm Vecto pháp tuyến của (Q) là n_Q→, vecto chỉ phương của (d) là u→

2. Gọi vecto pháp tuyến của (P) là n_P→

3. Dùng phương pháp vô định giải hệ

4, Áp dụng cách viết phương trình đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Oy và tạo với mặt phẳng (Q): y +z +1 =0 góc 60⁰. Phương trình mặt phẳng (P) là:

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A² +B² +C² ≠0).

Đường thẳng Oy đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vecto chỉ phương u→(0;1;0)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n_Q→=(0;1;1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→ .n_Q→=0

⇔ B=0

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 60⁰ nên ta có:

⇔ 1/2=

⇔ 1/2=

⇔ A=±C

Chọn C=1, ta có A=±1

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua O(0; 0; 0) và có vecto pháp tuyến n_P→(A;B;C) là:

x +z=0

-x +z=0

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x+2y+z-3=0 và đường thẳng Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với mặt phẳng (Q) một góc α thỏa mãn cos⁡α=√(3/6)

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A² +B² +C² ≠0).

Đường thẳng d đi qua điểm M(-1; 2; -3) và có vecto chỉ phương u→(1;-1;-1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n_Q→=(1;2;1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→ .n_Q→=0

⇔ A -B -C =0 ⇔ C =A -B

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc góc α thỏa mãn cos⁡α=√3/6

⇔ √3/6=

⇔ √3/6=

Với A = 0, chọn B = 1 ⇒ C=-1

Với A =4/3 B, chọn B=3 ⇒ A=4; C=1

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(-1; 2; -3) và có vecto pháp tuyến n_P→(A;B;C) là:

y -z -5 =0

4x +3y +z +1 =0

Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) và đường thẳng lần lượt có phương trình: (Q): x+2y-z+5=0 và . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 60⁰

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A² +B² +C² ≠0).

Đường thẳng (d) đi qua điểm M(-1; -1; 3) và có vecto chỉ phương u→(2;1;1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n_Q→=(1;2; -1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→ .n_P→=0

⇔ 2A +B +C =0 ⇔ C= -2A -B

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 60⁰ nên ta có:

⇔ 1/2=

⇔ 1/2=

⇔ A=(4±2√3)B

Chọn B=1, ta có A=(4±2√3) ⇒ C= -9±4√3

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(-1; -1; 3) và có vecto pháp tuyến n_P→(A;B;C) là:

(4 -2√3)x +y +(-9 +4√3)z +32 -14√3 =0

(4 +2√3)x +y +(-9 -4√3)z +32 +14√3 =0

Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình và mặt phẳng (Q): x+2y+z-5=0. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với (Q) một góc 30⁰.

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A² +B² +C² ≠0).

Đường thẳng (d) đi qua điểm M(0; 2; 0) và có vecto chỉ phương u→(1; -1;1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n_Q→=(1;2; 1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→ .n_P→=0

⇒ A -B +C =0 ⇒ C =B -A

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 30⁰ nên ta có:

⇒ √3/2=

⇒ √3/2=

Với A=0, chọn B = 1; C = 1

Với A=B, chọn A =B =1; C = 0

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(0; 2; 0) và có vecto pháp tuyến n_P→(A;B;C) là:

y +z -2 =0

x +y -2 =0