Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng

Phương pháp giải

1. Tìm vecto chỉ phương của Δ là u_Δ→

2. Vì Δ ⊥(α) nên (α) có Vecto pháp tuyến là n_α →=u_Δ →

3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp tuyến n_α→.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng 

Hướng dẫn:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u_d→=(1;2;1)

Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) nên (P) có một vecto pháp tuyến là n_P→=u_d→= (1;2;1)

Khi đó phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và có vecto pháp tuyến n_P→ là:

x +2y +z =0

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 1). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với trục Oy

Hướng dẫn:

Trục Oy có vecto chỉ phương là u_Oy→=(0;1;0)

Do mặt phẳng (P) vuông góc với trục Oy nên mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→= u_Oy→=(0;1;0).

Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:

y -5 =0

Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (2; -1; 1), B(1; 0; 4) và C(0; -2; -1). Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC.

Hướng dẫn:

Đường thẳng BC có vecto chỉ phương u→= BC→=(-1; -2; -5)

Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng BC nên mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là n→= BC→=(-1; -2; -5)

Phương trình mặt phẳng cần tìm là:

-1(x -2) -2(y +1) -5(z -1) =0

⇔ x +2y +5z -5 =0

Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (-2; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với đường thẳng 

Hướng dẫn:

Vecto chỉ phương của đường thẳng (d) là u→ =(-2;1;3)

Do đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→ =(-2;1;3)

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(-2; 3; 1) và có vecto pháp tuyến

n→ =(-2;1;3) là:

-2(x +2) +y -3 +3(z -1) =0

⇔ -2x +y +3z -10 =0