Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ

1. Phương pháp giải

a.Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

+ Để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp một đường tròn.

+ Gọi O₁, O₂ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ

⇒ O₁O₂ là trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy.

Gọi I là trung điểm của O₁O₂
⇒ IA = IB = IC= IA’ = IB’ = IC’. Suy ra:

- Trung điểm I của O₁O₂ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

- Bán kính: R = IA
= 

Phương pháp riêng cho hình lập phương và hình hộp chữ nhật:

-Tâm đường tròn ngoại tiếp chính là trung điểm của một đường chéo của hình hộp (giao các đường chéo).

- Bán kính
R = 

b. Mặt cầu nội tiếp lăng trụ

- Khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a: bán kính R = 

- Đường cao của hình lăng trụ bằng đường kính của hình cầu nội tiếp.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ nội tiếp trong mặt cầu bán kính R = 3cm. Tam giác ABC cân và có diện tích bằng 2cm. Diện tích toàn phần của hình hộp đó bằng:

A. 8cm²    B. 24cm²

C. 8√7cm²    D. 8(1 + 2√7) cm²

Hướng dẫn giải:

+ Ta có ABCD là hình chữ nhật nên tam giác ABC vuông tại B.

Theo giả thiết tam giác ABC cân nên tam giác ABC vuông cân tại B ⇒ AB= BC

+ Diện tích tam giác ABC là
S_ABC =  .AB.BC =  =  AB² = 2
⇒ AB = BC = 2

Tam giác ABC có: AC = 2√2 ⇒ IC = AC/2 = √2

Xét tam giác IOC:
IO =  = √7

+ Suy ra chiều cao của khối hộp là

+ Diện tích toàn phần của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là: S_tp = S_{2 đay} + S_xq

= 2.2² + 4.2.2√7 = 8 + 16√7 = 8(1 + 2√7)

Chọn D.

Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = a,
BC = a√2 . Góc giữa đường chéo AC’ của mặt bên (A’C’CA) với mặt đáy bằng 30⁰. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.

Hướng dẫn giải:

Gọi O₁, O₂ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy.

+ Vì tam giác ABC vuông tại C nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là O₁ – trung điểm của cạnh huyền AB.

Tương tự ta có, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’ là O₂ – trung điểm của cạnh huyền A’B’.

Gọi I là trung điểm của O₁O₂ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, bán kính mặt cầu là IA.

+ Xác định góc của đường AC’ và (ABC):

+ Xét tam giác ACC’:

+ Xét tam giác ABC có:

+ xét tam giác AIO₁ có:

Thể tích khối cầu là:
V = 

Chọn D.