Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng

A. Phương pháp giải

+ Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng Δ: u_Δ→

+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) và ( Q): n_P→; n_Q→

+ Trong cả hai trường hợp ta đều có một vecto chỉ phương của đường thẳng d là :

+ Khi đó, đường thẳng d: đi qua điểm M và có vecto chỉ phương u→

=> phương trình đường thẳng d

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  và mặt phẳng (P): x- 2y+ 3z+ 10 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M( 1; -1; 1); nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng Δ?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương 

Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng Δ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:  .

=> Phương trình đường thẳng d cần tìm: 

Chọn B.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  và mặt phẳng (P): x+ 2y – 3z+ 4= 0. Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong (P) , cắt và vuông góc đường thẳng Δ là:

A. 

B.

C.

D.Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Tìm giao điểm M của Δ và mặt phẳng ( P):

Điểm M( - 2+ t; 2+ t;- t) thuộc Δ.

Thay tọa độ M vào phương trình ( P) ta được: - 2+ t+ 2(2+ t) – 3( - t) + 4= 0 ⇔ - 2+ t + 4 + 2t + 3t + 4= 0 ⇔ 6t+ 6= 0 nên t= -1 => M ( - 3; 1; 1)

+ Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 

+ Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương 

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P)và vuông góc với đường thẳng Δ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là : 

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( -3; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là 

Vậy phương trình tham số của d là:

Chọn B.

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  và mặt phẳng (P): 2x+ y- 2z + 9= 0 . Gọi A là giao điểm của d và (P). Phương trình tham số của đường thẳng Δ nằm trong (P), đi qua điểm A và vuông góc với d là

A.

B.

C.

D.Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Điểm A là giao điểm của đường thẳng d và (P).

=> Tọa độ A( 1- t; - 3+ 2t; 3+ t)

Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được : 2( 1- t) + ( -3+ 2t) – 2( 3+ t) + 9= 0 ⇔ 2- 2t- 3+ 2t – 6 – 2t + 9= 0 ⇔ - 2t+ 2= 0 ⇔ t= 1 nên A(0; -1; 4)

+ Mặt phẳng ( P) có vectơ pháp tuyến 

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương 

+ Do đường thẳng Δ nằm trong (P) và vuông góc với d nên một vecto chỉ phương của Δ là: 

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A(0; - 1; 4) và có vectơ chỉ phương là ( 1; 0;1)

Vậy phương trình tham số của Δ là 

Chọn C.

Ví dụ 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng Δnằm trong mặt phẳng (P): 2x- y – z + 4= 0 và vuông góc với đường thẳng  Đường thẳng Δ đi qua điểm M(0; 1; 3) có phương trình là

A. .

B. .

C. .

D. .

Hướng dẫn giải

Ta có mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là: 

Đường thẳng d có vecto chỉ phương 

Do 

Đường thẳng Δ đi qua M( 0; 1; 3) và nhận vecto  là vecto chỉ phương

=> Phương trình Δ:

Chọn B

Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua hai điểm A(1;1; 2) và B( -1; 2; 1). Mặt phẳng (P): 2x- y- 1= 0. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M( -1; 2; 2) nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng d?

A.

B. 

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên nhận  làm vecto chỉ phương .

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến  .

+ Do đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d nên một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ là:

=> Phương trình đường thẳng Δ:

Chọn C.

Ví dụ 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng  và mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A( 0; 1; 2); B(-2;1; 0) và C(-2; -1; 2). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua trung điểm của AB; nằm trong mặt phẳng ( P) và vuông góc với đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Gọi M là trung điểm của AB tọa độ M( -1;1; 1)

+ đường thẳng d có vecto chỉ phương 

+ Ta có: ( => Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: 

+ Do đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với d nên một vecto chỉ

phương của Δ là: 

=> Phương trình Δ:

Chọn A.

Ví dụ 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho ba điểm A( -1; 2; 1); B( -2; 1; 1) và C( -3; 2; 2). Mặt phẳng (P): 2x- y= 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M( 2;1;3) nằm trong mặt phẳng ( P) và song song với mặt phẳng ( ABC)

A.

B.

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

+ ta có: 

=> Mặt phẳng ( ABC) có một vecto pháp tuyến là : .

+Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến là : 

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và song song với mặt phẳng (ABC) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng là: 

=> Phương trình đường thẳng d: 

Chọn D.

Ví dụ 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( -1; -1; -1) và B(1;2;0). Mặt phẳng (P): 3x- 2y+ z- 10= 0 . Đường thẳng d đi qua M( -1; 2;2) nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng AB. Trong các đường thẳng sau đường thẳng nào song song với đường thẳng d?

A.

B.

C.

D.

Giaỉ

+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương 

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến  .

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phăng (P) và vuông góc với đường thẳng AB nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là : 

=> Phương trình đường thẳng d: 

=> Đường thẳng d’:  song song với đường thẳng d( có cùng vecto chỉ phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’) .

Chọn A.