Cách xác định Thiết diện của hình nón chi tiết
Với Cách xác định Thiết diện của hình nón Toán lớp 12 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải chi tiết giúp học sinh biết Cách xác định Thiết diện của hình nón.
Cách xác định Thiết diện của hình nón
Phương pháp giải & Ví dụ
- Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân.
+ Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh, trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
- Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là một đường tròn.
+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
Hướng dẫn:
Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là tam giác SAB, ∆SAB đều cạnh 2a.
Sxq = πRl = π.a.2a = 2πa2
Bài 2: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a√2. Tính thể tích khối nón.
Hướng dẫn:
Thiết diện thu được khi cắt hình nón bằng mặt phẳng đi qua trục là tam giác SAB
⇒∆SAB vuông cân tại S, có AB = a√2
Thể tích khối nón là:
Bài 3: Một hình nón có đường sinh bằng 3cm và góc ở đỉnh bằng 90°. Cắt hình nón bởi mặt phẳng (α) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (α) và mặt đáy bằng 60°. Tính diện tích thiết diện
Hướng dẫn:
Dựng hình như hình bên với (α) là (SAC).
+ ∆SAB vuông cân tại S
+ Kẻ OP ⊥ AC
Ta có: OP ⊥ AC; SO ⊥ AC ⇒ SP ⊥ AC
Khi đó, góc giữa (SAC) và đáy là góc giữa SP và OP
⇒ ∠(SPO) = 60º
Xét ∆SPO vuông tại O có:
Ta có:
Bài 4: Khối nón (N) có chiều cao bằng 3a. Thiết diện song song và cách mặt đáy một đoạn bằng a, có diện tích bằng 64π/9 . a2. Khi đó, thể tích của khối nón (N) bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Thiết diện thu được khi cắt hình nón bởi mặt phẳng song song với đáy là hình tròn tâm O’ có bán kính r
Diện tích của thiết diện:
Theo giả thiết, SO = 3a, OO’ = a ⇒ SO’ = 2a
Ta có:
Vậy thể tích khối chóp là:
Bài 5: Tính diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng √3 và thiết diện qua trục là tam giác đều.
Hướng dẫn:
Thiết diện là ∆SAB, đặt AB = a.
Xét ∆SOB vuông tại O, OH là đường cao có:
